五阶幻方探讨

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五阶幻方探讨

因前面计算了四阶幻方（详见《四阶幻方知多少》一文），也就引起了对五阶幻方的性趣。以当前对幻方的认知，要能保证不遗漏、不重复的找完就自然是走基数组——穷举法之路。

基数组：首先，在1～25个自然数中取5个不同的数为一组，使5个数相加等于幻和65，再以这样的数组为单位来构建幻方。那么这样的排列有多少个？经计算有个。为了便于叙述方便，将这个排列称为基数组。

一、简单直接法：

假定所填写幻方形式如下：A23代表第2行第3列的数字，其余相同。从基数组中取一组数，依次定为A11、A21、A31、A41、A51。即A11+A21+A31+A41+A51=65，定为第一列；再从基数组中取四组B1、B2、B3、B4、B5；C1、C2、C3、C4、C5；D1、D2、D3、D4、D5；E1、E2、E3、E4、E5；F1、F2、F3、F4、F5。但B1=A11，C1=A21，D1=A31，E1=A41，

F1=A51且各数字也不能相同，依次确定为二、三、四、五行，这样这个数字方阵中每行的数字相加等于65，第一列也等于65，但第2、3、4、5列，两对角线的数字相加是否等于65？就要去计算、判断了。这样就将循环嵌套的层级数降到了最低。但逐一地抽取、逐一地排除。尽管是用计算机，时间也要很长的，因有大量的无效循环，每个数组的循环次数是以千为单位计算。编程最简单、时间太长，不可取。

二、直接、筛选法

可理解为对第一种方法的升级，即每一数组都以前面的数组为依据进行筛选拦截。如第一个数组除了A1要受约束外，对其余各数中凡是有与前面出现的数字相同的予以删除，这样余下的数组中还有约三千个左右；第二组则以一、二组为据进行筛选，依次类推，最后第五组约还有几百个左右。这种方法比第一种好一点，但用时仍然很长，不可取。

• 对角线法

即首先将第一组数确定为主对角线，再以A3为条件选择确定第二组数为副对角线。这样对角线符合要求，再以两对角线上的数为约束条件、采用层层筛选确定后面各组的数据。这种方法又要好一点，但运算仍然很慢，因各组的循环次数还是很高。不能尽早排除掉一些无效循环，要提高效率就是要减少循环、嵌套的层级和次数。

四、直接约束筛选法

可理解为对前面三种方法的综合应用，用以出现了的数字为准对后面的基数组进行筛选。1、确定第一列A1、A2、A3、A4、A5，与第一行B1、B2、B3、B4、B5，其方法与直接筛选法相同；2、确定副对线上的数，因副对角线上的数已出现两个（A5、B5），因此副对角线上的自由变量就只有三个了，再排除掉前面已经出现了的数字，其循环量就在百位左右了；3、同样主对角线的数字也已出现了两个（A1、C3），应优先确定主对角线（因对角线上的数字涉及到纵、横、斜三个方面），其循环量下降到了两位数，4、计算第二行，此时第二行已出现三个数字A2、D2、C4。5、计算第三行，第三行也出现了A3、C3。

后面的第四行、第五行还有5个数未确定。对这5个数不再采用数组方式来确定，一方面是为了降低循环嵌套层级，另方面要排除掉与前面出现的数据相同所用的时间也较长，转而采用后面计算排除，用时还少些。

这样做在编程上要复杂点，层层筛选，层层约束，但尽可能的将一些无效循环及早淘汰掉了，所以看起来程序还要长一些，但运算反而还快点。前面的三种方法编程上很简单，但不能及早淘汰掉一些无效循环，而本身循环量又大，所以导致整体速度下降。

程序简单不一定就好。

通过实践、分析发现：循环嵌套层级数越多，运算速度就会下降得多；一个循环数组中受约束的数字越多（自由变量就越少）循环量就越少；幻方中对角线上的数与纵、横、斜都相关，因此在可能的情况下要优先确定，这样可以将一些无效循环及早消除掉，大幅减少后面的计算量。

经计算：

以个基数组中的第一个数组（第一个数组：1、2、13、24、25，即每个幻方的第一列都是这5个数）为准的五阶幻方的总数为8205个。

用时：近80小时（79小时42分51秒）

根据四阶幻方的情况看，以数字1开头（幻方左上角第一个数字）的幻方数量不比其它数字开头的多，来推断：五阶幻方的个数应在14亿～15亿了。

还可以以基数组为据，进一步构造9位数组、12位数组和米字型等。

这些看起来是减少了循环嵌套层级，但实际上是将循环嵌套层级进行了分散处理。以9位数组为例，构造9位数组时就有很大的循环量，而且所用空间也不少（80G以上），用一个数据表还装不下（我是为了便于后面使用方便，用了25个数据表），用了几个小时才做完这一步。而且在最后填写时循环量一点未减少，也不能及早淘汰掉无效循环。所以速度反而慢了很多。对电脑的内存、硬盘空间要求更大。

9位数组填写顺序：

12位数组填写顺序：

米字型数组：

当然，编程中必要的技能技巧是必须的，以计算基数组为例，三阶幻方、四阶幻方的基数组计算有无技巧都无所谓，很快出结果；但随着阶数的提高，问题就出来了，以七阶为例，沿用三阶四阶的算法，算了十多个小时遥遥无期，后改为分段计算用了百多个小时才算出结果，后经改变算法、优化程序也用了近40小时。

三阶幻方基数组个数：48个

四阶幻方基数组个数：2064个

五阶幻方基数组个数：个

六阶幻方基数组个数：个

七阶幻方基数组个数：个

三阶幻方全部只有8个。

四阶幻方全部只有7040个。

五阶幻方只算了约1/，就达8205个。

这个增长幅度也是惊人的！

以目前对幻方的认知及所使用的算法来看，如果说对5阶幻方还可以试一下，对6阶以上就真成了可望不可及了（循环量、嵌套层级都是比五阶的多得多，比基数组个数都可比较，我的电脑只能是理论上行而实际上不行，到时电脑是否会崩溃？）。

附：本人编程计算所使用的计算机及程序语言。

联想台式机Lenovo 510。处理器Intel(R) Core(TM) i5-9400F CPU @ 2.90GHz；内存：8G（机带）；系统平台：Windos 10 专业版，64 位操作系统, 基于 x64 的处理器。

编程软件：Microsoft  Visual  FoxPro 9.0。

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