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1. 概述
介绍割线法求解含单变量非线性方程的过程。
2. 原理步骤
2.1 原理
求解非线性方程 f ( x ) = 0 f\left(x\right) =0 f(x)=0时，将函数在点处作Taylor展开：
f ( x ) = f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) + f ′ ′ ( ξ ) 2 ! ( x − x k ) 2 \begin{equation} f(x)=f\left(x_{k}\right)+f^{\prime}\left(x_{k}\right)\left(x-x_{k}\right)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2 !}\left(x-x_{k}\right)^{2} \end{equation} f(x)=f(xk)+f′(xk)(x−xk)+2!f′′(ξ)(x−xk)2
取前两项近似代替 f ( x ) f\left(x\right) f(x)，则非线性方程 f ( x ) = 0 f\left(x\right)=0 f(x)=0用线性方程式（2）近似。
f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) = 0 \begin{equation} f\left(x_{k}\right)+f^{\prime}\left(x_{k}\right)\left(x-x_{k}\right)=0 \end{equation} f(xk)+f′(xk)(x−xk)=0
式（2）变换得到：
x = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) x=x_{k}-\frac{f\left(x_{k}\right)}{f^{\prime}\left(x_{k}\right)} x=xk−f′(xk)f(xk)
得到迭代公式：
x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) \begin{equation} x_{k+1}=x_{k}-\frac{f\left(x_{k}\right)}{f^{\prime}\left(x_{k}\right)} \end{equation} xk+1=xk−f′(xk)f(xk)
公式（3）称Newton迭代公式，要求 f ′ ( x k ) ≠ 0 f^{\prime}\left(x_{k}\right) \neq 0 f′(xk)=0，实际中 f ( x k ) f\left(x_{k}\right) f(xk)一般比较复杂或者不存在解析函数，无法求出 f ′ ( x k ) f^{\prime}\left(x_{k}\right) f′(xk)的表达式，改用 f ( x k ) − f ( x k − 1 ) x k − x k − 1 \frac{f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)}{x_{k}-x_{k-1}} xk−xk−1f(xk)−f(xk−1)代替，得到迭代公式：
x k + 1 = x k − f ( x k ) f ( x k ) − f ( x k − 1 ) ( x k − x k − 1 ) , k ≥ 2 \begin{equation} x_{k+1}=x_{k}-\frac{f\left(x_{k}\right)}{f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)}\left(x_{k}-x_{k-1}\right), k \geq 2 \end{equation} xk+1=xk−f(xk)−f(xk−1)f(xk)(xk−xk−1),k≥2
公式（4）称割线法，在计算前需要提供两个初值 x 0 x_{0} x0和 x 1 x_{1} x1。
2.2 几何意义
回到问题的起点：如何找到满足 f ( x ) = 0 f\left(x\right)=0 f(x)=0的 x x x？
一般人会这么做：第一步随便试了个数，看看返回多少
x 1 → f ( x 1 ) ≠ 0 x_{1}\rightarrow f\left(x_{1}\right)\neq0 x1→f(x1)=0
再试一把
x 2 → f ( x 2 ) ≠ 0 x_{2}\rightarrow f\left(x_{2}\right)\neq0 x2→f(x2)=0
当然这并不是白费力气，你会发现当 x x x变化量为1时 f ( x ) f\left(x\right) f(x)变化了多少，体育老师也会说的斜率
f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}} x2−x1f(x2)−f(x1)
倒过来变成
x 2 − x 1 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) \begin{equation} \frac{x_{2}-x_{1}}{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)} \end{equation} f(x2)−f(x1)x2−x1
式（5）表示 f ( x ) f\left(x\right) f(x)变化量为1时 x x x的变化量，那么 f ( x ) f\left(x\right) f(x)从 f ( x 2 ) → 0 f\left(x_{2}\right)\rightarrow0 f(x2)→0， x x x变化量不就是
x 2 − x 1 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) ⋅ ( 0 − f ( x 2 ) ) \frac{x_{2}-x_{1}}{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}\cdot\left (0-f\left(x_{2}\right)\right) f(x2)−f(x1)x2−x1⋅(0−f(x2))
所以得到了第三个点：
x 3 = x 2 + x 2 − x 1 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) ⋅ ( 0 − f ( x 2 ) ) = x 2 − f ( x 2 ) f ( x 2 ) − f ( x 1 ) ( x 2 − x 1 ) \begin{equation} x_{3}=x_{2}+\frac{x_{2}-x_{1}}{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}\cdot\left(0-f\left(x_{2}\right)\right)=x_{2}-\frac{f\left(x_{2}\right)}{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}\left(x_{2}-x_{1}\right) \end{equation} x3=x2+f(x2)−f(x1)x2−x1⋅(0−f(x2))=x2−f(x2)−f(x1)f(x2)(x2−x1)
这就得到了割线法的递归公式，用数学老师的话讲，割线法就是用线性方程
y = f ( x k ) + f ( x k ) − f ( x k − 1 ) x k − x k − 1 ( x − x k ) y=f\left(x_{k}\right)+\frac{f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)}{x_{k}-x_{k-1}}\left(x-x_{k}\right) y=f(xk)+xk−xk−1f(xk)−f(xk−1)(x−xk)
的零点逐步近似曲线方程 f ( x ) = 0 f\left(x\right)=0 f(x)=0的零点。
2.3 步骤
步骤如下：
3. 结论
介绍了割线法的原理和步骤。
4. 详细代码
测试：函数 f ( x ) = ( x − 2 ) 2 − 4 f(x)=(x-2)^{2}-4 f(x)=(x−2)2−4
二分法根据隔根区间搜索，步数多但结果较可控；割线法根据初值不同会取到意想不到的结果，比如x0为0.1，dx0分别为1和4时结果为0和4。
double MyFunction(double x) {
return (x - 2)*(x - 2) - 4; } int main() {
cout << "SecantSearch:" << endl; CSecantSearch SecantSearch(100); try {
SecantSearch.Search(0.1, 4, 20, 0.01, MyFunction); auto secantRecord = SecantSearch.getRecord(); cout << "i=" << secantRecord.index << endl; cout << "x=" << secantRecord.data[secantRecord.index].x << endl; cout << "f=" << secantRecord.data[secantRecord.index].fx << endl; } catch (invalid_argument &e) {
cout << e.what() << endl; //...... } catch (out_of_range &e) {
cout << e.what() << endl; //...... } return 0; } CBinarySearch.h
/* * Auther: sanfan66 */ #pragma once class CSecantSearch {
public: struct SData {
double x, fx, deltaX; }; struct SRecord {
SData *data; int maxNum; int index; }; CSecantSearch(int mMaxNum) {
Record.maxNum = mMaxNum; Record.data = new SData[Record.maxNum]{
}; } ~CSecantSearch() {
delete[] Record.data; Record.data = nullptr; } double Search(const double x0, const double deltaX0, const double maxDeltaX, const double ObjFunEps, double(*ObjFunction)(double)); double RangLimit(const double minValue, const double maxValue, double *value); SRecord getRecord() {
return Record; } private: SRecord Record; }; CBinarySearch.cpp
#include "CSecantSearch.h" #include <iostream>//cout using namespace std;//cout double CSecantSearch::Search(const double x0, const double deltaX0, const double maxDeltaX, const double ObjFunEps, double(*ObjFunction)(double)) throw(exception) {
Record.data[0] = {
x0, (*ObjFunction)(x0), deltaX0 }; if (abs(Record.data[0].fx) < ObjFunEps) {
Record.index = 0; return 0; } Record.index = -1;//判断是否有解 for (int i = 1; i < Record.maxNum; i++) {
Record.data[i].x = Record.data[i - 1].x + Record.data[i - 1].deltaX; Record.data[i].fx = (*ObjFunction)(Record.data[i].x); Record.data[i].deltaX = -Record.data[i].fx / (Record.data[i].fx - Record.data[i - 1].fx)* (Record.data[i].x - Record.data[i - 1].x); RangLimit(-maxDeltaX, maxDeltaX, &(Record.data[i].deltaX)); if (abs(Record.data[i].fx) < ObjFunEps) {
Record.index = i; break; } } if (Record.index < 0) {
cout << "Record.maxNum=" << Record.maxNum << endl; throw out_of_range("：割线法迭代次数超过设定值"); } return 0; } double CSecantSearch::RangLimit(const double minValue, const double maxValue, double *value) {
if (*value > maxValue) {
*value = maxValue; } else if (*value < minValue) {
*value = minValue; } return 0; } 免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://haidsoft.com/144167.html
