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卡尔丹公式简明推导
对于方程
y 3 + p y + q = 0 y^3+py+q=0 y3+py+q=0
有经验的选手会联想到公式(不要问我为啥)
( u + v ) 3 = u 3 + 3 u v 2 + 3 u 2 v + v 3 ① (u+v)^3=u³+3uv²+3u²v+v³ ① (u+v)3=u3+3uv2+3u2v+v3①
①式可整理为如下形式
( u + v ) 3 － 3 u v （ u + v ）－ u 3 － v 3 = 0 (u+v)^3－3uv（u+v）－u^3－v^3=0 (u+v)3－3uv（u+v）－u3－v3=0
令s=u+v，r=－3uv，j=－u³－v³则有
s 3 + r s + j = 0 s³+rs+j=0 s3+rs+j=0
对照y³+py+q=0，那么有
p = － 3 u v ② p=－3uv② p=－3uv②
q = － u 3 － v 3 ③ q=－u³－v³③ q=－u3－v3③
y = u + v ④ y=u+v④ y=u+v④
②左右同时立方，得到
p 3 = － 27 u 3 v 3 ⑤ p³=－27u³v³⑤ p3=－27u3v3⑤
即
－ u 3 v 3 = ( p / 3 ) 3 ⑥ －u³v³=(p/3)^3 ⑥ －u3v3=(p/3)3⑥
③×v³得到
－ u 3 v 3 － ( v 3 ) 2 = q v 3 ⑦ －u³v³－(v³)²=qv³⑦ －u3v3－(v3)2=qv3⑦
将⑥代入⑦得到
( p / 3 ) 3 － ( v 3 ) 2 = q v 3 ⑧ (p/3)³－(v³)²=qv³⑧ (p/3)3－(v3)2=qv3⑧
⑧是一个关于v³的二次方程，那么可得v关于p，q的恒等式（略）
同理可得u关于p，q的恒等式。结合式④，即得卡尔丹公式（见上篇文章，此处略）。
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