数学分析(九)-定积分03：可积条件

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$\S 3$ 可积条件
从定理 9.1 及其后注中看到, 要判别一个函数是否可积, 必须研究可积条件.
一、可积的必要条件
定理 9.2 若函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积,则 $f$ 在 $[a,b]$ 上必定有界.
证 用反证法. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上无界, 则对于 $[a,b]$ 的任一分割 $T$,
必存在属于 $T$ 的某个小区间 ${\Delta }_k,f$ 在 ${\Delta }_k$ 上无界. 在
$i\ne k$ 的各个小区间 ${\Delta }_i$ 上任意取定 ${\xi }_i$, 并记
$$G=\left|\sum _{i=1}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right|.$$
现对任意大的正数 $M$, 由于 $f$ 在 ${\Delta }_k$ 上无界,故存在
${\xi }_k\in {\Delta }_k$, 使得
$$\left|f\left({\xi }_k\right)\right|>\frac{M+G}{\Delta x_k}.$$
于是有
$$\begin{array}{rl}\left|\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right|& ⩾\left|f\left({\xi }_k\right)\Delta x_k\right|-\left|\sum _{i=1}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right|\\ & >\frac{M+G}{\Delta x_k}\cdot \Delta x_k-G=M.\end{array}$$
由此可见, 对于无论多小的 $\Vert T\Vert$, 按上述方法选取点集
{ ξ i } \left\{\xi_{i}\right\} {
ξi​} 时, 总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数,
这与 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积相矛盾.
这个定理指出, 任何可积函数一定是有界的; 但要注意, 有界函数却不一定可积.
例 1 证明狄利克雷函数
$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数, }\\ 0,& x\text{ 为无理数 }\end{array}$$
在 $[0,1]$ 上有界但不可积.
证 显然 $|D(x)|⩽1,x\in [0,1]$.
对于 $[0,1]$ 的任一分割 $T$, 由有理数和无理数在实数中的稠密性, 在属于
$T$ 的任一小区间 ${\Delta }_i$ 上, 当取 ${\xi }_i$ 全为有理数时,
${\sum }_{i=1}^{n}D\left({\xi }_i\right)\Delta x_i={\sum }_{i=1}^n\Delta x_i=1$;
当取 ${\xi }_i$ 全为无理数时,
${\sum }_{i=1}^{n}D\left({\xi }_i\right)\Delta x_i=0$. 所以不论 $\Vert T\Vert$
多么小, 只要点集 { ξ i } \left\{\xi_{i}\right\} {
ξi​}
取法不同(全取有理数或全取无理数 $)$, 积分和就有不同的极限, 即 $D(x)$ 在
$[0,1]$ 上不可积.
由此例可见, 有界是可积的必要条件. 所以在以后讨论函数的可积性时,
总是首先假设函数是有界的, 今后不再一一申明.
二、可积的充要条件
要判断一个函数是否可积, 固然可以根据定义,
直接考察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知,因此这是极其困难的.下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关,
而不涉及定积分的值.
设 $T=\left|{\Delta }_i\right|i=1,2,\cdots ,n\}$ 为对
$[a,b]$ 的任一分割. 由 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界,则它在每个 ${\Delta }_i$
上存在上、下确界:
$$M_i=\underset{x\in {\mathbb{A}}_i}{\sup }f(x),m_i=\underset{x\in {\Delta }_i}{\inf }f(x),i=1,2,\cdots ,n.$$
作和
$$S(T)=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i,s(T)=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i,$$
分别称为