“小波”的定义与小波函数

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与傅里叶变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。

1 概述

1.1 小波定义

对于任意ψ(t)∈L²(R)，即ψ(t)是平方可积函数，如果ψ(t)的傅里叶变换满足”可容许条件”：

则称ψ(t)是一个基本小波或母小波函数。母小波函数ψ(t)必须满足下列条件：

1、ψ(t)∈L²(R)是单位化的，公式表示为：

2、ψ(t)∈L(R)且是有界函数，公式表示为：

3、ψ(t)的平均值为零，公式表示为：

除此之外：

1.2 小波函数性质

两条性质略

总之，“小波”就是小的波形：

• 所谓“小”是指它具有衰减性，在某个区域之外会速降为零；
• 而“波”则是指它的波动性，即振幅正负相间的振荡形式。

如下图所示，图(a)为小波波形，而图(b)不是：

2 常用小波函数

下面只列出名称，详细公式略：

1、Haar小波

2、Morlet小波

3、Marr小波

4、DOG(Difference of Gaussian)小波

3 小波函数选择原则

不同的小波在正交性、紧支撑性、平滑性和对称性上表现出不同的特性，往往难以构造一个同时具有4种特性的小波函数。实际应用中只有根据不同信号的处理目的和分解需要，在几种特性之间取折中，选择满足需要的小波来分解。

下面在定性和定量两方面进行分析：

1、定性地讲，当被检测信号的振荡频率与相应尺度的小波函数振荡频率相近时，信号获得了较大系数的小波分解，这就是小波分析可以多尺度提取信号不同频率成分的原因。

2、定量上讲，通常采用“熵”值来度量信号和小波基之间的距离，其中序列{u(k)}的熵通常定义为：

该距离越小(即熵值越小)，则信号和基之间的差别越小，信号获得的分解越大。

因此，针对不同的瞬态信号需要选择不同的小波，通过比较不同小波分解后熵值的大小，选择使熵值较小的小波以获得较大的分解，达到较好的检测分析效果。

在实际运用中，小波基函数选择可从以下3个方面考虑：

(1)复值与实值小波的选择。复值小波作分析不仅可以得到幅度信息，也可以得到相位信息，所以复值小波适合于分析计算信号的正常特性。而实值小波最好用来做峰值或者不连续性的检测。

(2)连续小波的有效支撑区域的选择。连续小波基函数都在有效支撑区域之外快速衰减。有效支撑区域越长，频率分辨率越好；有效支撑区域越短，时间分辨率越好。

(3)小波形状的选择。如果进行时频分析，则要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的基函数，在频域的局部化特性越好。如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。

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