数学基础 — 多项式

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

多项式

多项式（Polynomial）是数学中一种表达式，由变量和系数组成，通过加、减和乘运算结合而成。多项式的一般形式如下：

$$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$

其中：

• $x$ 是变量；
• $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0$ 是系数，可以是任意数（实数、复数、甚至是其他多项式）；
• $n$ 是非负整数，表示多项式的最高次幂。

多项式的基本概念

1. 次数（Degree）：多项式中最高次幂的指数。例如，$P(x)=4x^3+3x^2+2x+1$ 的次数为 3。
2. 系数（Coefficient）：多项式中各项的常数因子。例如，在 $4x^3+3x^2+2x+1$ 中，4 是 $x^3$ 项的系数，3 是 $x^2$ 项的系数，2 是 $x$ 项的系数，1 是常数项的系数。
3. 常数项（Constant Term）：不含变量的项。例如，在 $P(x)=4x^3+3x^2+2x+1$ 中，常数项是 1。

多项式的运算

1. 加法和减法：将两个多项式相加或相减时，只需将相同次幂的项系数相加或相减。例如：

$$(3x^2+2x+1)+(2x^2+x+4)=5x^2+3x+5$$

2. 乘法：多项式乘法遵循分配律，每一项都要与另一多项式的每一项相乘，并将结果合并。例如：

$$(2x+1)(x-3)=2x(x-3)+1(x-3)=2x^2-6x+x-3=2x^2-5x-3$$

3. 除法：多项式的除法类似于整数的长除法。将被除多项式逐步减去除多项式的倍数，直到剩余部分的次数小于除多项式的次数。例如，将 $4x^3+2x^2-x-1$ 除以 $2x+1$。

多项式的应用

多项式在数学、工程、物理等领域中有广泛的应用。例如：

• 插值法：通过已知数据点构造一个多项式来估计中间值。
• 信号处理：在数字信号处理中，多项式用于表示信号的滤波器。
• 控制理论：在控制系统中，多项式用于描述系统的动态特性。