数学基础 — 线性代数之矩阵的可逆性

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矩阵的可逆性

1. 矩阵可逆的定义

对于一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，如果存在一个矩阵 $B$ 使得：
$$A\times B=B\times A=I_n$$
其中 $I_n$ 是 $n\times n$ 的单位矩阵（对角线上全为 1，其他位置全为 0），那么矩阵 $A$ 是可逆的，并称矩阵 $B$ 是矩阵 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。

2. 矩阵不可逆的定义

如果对于一个方阵 $A$，不存在矩阵 $B$ 使得 $A\times B=I_n$，那么矩阵 $A$ 就是不可逆的，即矩阵没有逆矩阵。

3. 矩阵可逆与不可逆的条件

• 行列式：方阵 $A$ 的行列式 $\det (A)\ne 0$ 时，矩阵 $A$ 可逆；如果 $\det (A)=0$，则矩阵不可逆。
• 线性无关性：矩阵的列向量（或行向量）线性无关时，矩阵可逆；如果列向量（或行向量）线性相关，则矩阵不可逆。

4. 可逆矩阵的性质

• 唯一性：一个矩阵的逆矩阵是唯一的。
• 矩阵乘法与逆矩阵：如果 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵，则它们的乘积 $AB$ 也是可逆矩阵，且 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$。
• 线性方程组的解：如果矩阵 $A$ 可逆，则线性方程组 $Ax=b$ 有唯一解，解为 $x=A^{-1}b$。

5. 不可逆矩阵的特点

• 行列式为零：不可逆矩阵的行列式等于零。
• 线性相关：不可逆矩阵的行向量或列向量中存在线性相关性。
• 方程组的解：对于不可逆矩阵，线性方程组 $Ax=b$ 可能没有解或有无穷多个解。

6. 可逆矩阵的几何意义

在几何中，可逆矩阵表示一种可逆的线性变换，这种变换不会将空间压缩到低维空间。比如，二维空间中的可逆矩阵不会将平面压缩成一条直线或一个点。

总结

• 可逆矩阵：有逆矩阵，行列式不为零，线性方程组有唯一解。
• 不可逆矩阵：无逆矩阵，行列式为零，线性方程组可能没有解或有无穷多个解。