指数分布的期望和方差推导

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从前期的文章《泊松分布》中，我们知道泊松分布的分布律是：

$$P(X(t)=k)=\frac{(\lambda t)^{k}e^{-\lambda t}}{k!}$$

λ是单元时间内事件发生的次数。如果时间间隔t内事件发生的次数为0，则：

$$P(X>t)=\frac{(\lambda t)^{0}e^{-\lambda t}}{0!}=e^{-\lambda t}$$

反过来，在时间间隔t内发生事件的概率，就是1减去上面的值：

$$P(X<=t)=1-e^{-\lambda t}$$

这就变成了时间间隔t在参数λ下的分布函数。根据概率论知识，我们知道，分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分。对上述的分布函数进行求导，得到：

$$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$

这就是 《指数分布》的概率密度函数。也就是说指数分布是可以从泊松分布推导出来的。

对于指数分布的期望和方差，推导如下：
首先，指数分布属于连续型随机分布，因此，其期望E(X)为：

$$E(X)=\int_{-\infty }^{\infty }|x|f(x)dx=\int_{0}^{\infty }xf(x)dx=\int_{0}^{\infty }x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac {1} {\lambda}\int_{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}d\lambda x$$

令

u=λx
$u=\lambda x$，则：

$$E(X)=\frac {1} {\lambda}\int_{0}^{\infty }ue^{-u}du=\frac {1} {\lambda}[(-e^{-u}-ue^{-u})|(\infty,0)]=\frac {1} {\lambda}$$

对于指数分布的方差D(X)：

$$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$$

其中：

$$E(X^2)=\int_{-\infty }^{\infty }|x^2|f(x)dx=\int_{0}^{\infty }x^2f(x)dx=\int_{0}^{\infty }x^2\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx$$

$$E(X^2)=\frac {1} {\lambda^2}\int_{0}^{\infty }\lambda x \lambda xe^{-\lambda x}d\lambda x$$

令

u=λx
$u=\lambda x$，则：

$$E(X^2)=\frac {1} {\lambda^2}\int_{0}^{\infty }u^2e^{-u}du=\frac {1} {\lambda^2}[(-2e^{-u}-2ue^{-u}-u^2e^{-u})|(\infty,0)]=\frac {1} {\lambda^2}\cdot 2=\frac {2} {\lambda^2}$$

所以：

$$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac {2} {\lambda^2}-(\frac {1} {\lambda})^2=\frac {1} {\lambda^2}$$