随机过程复习（六）布朗运动

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1. 布朗运动的定义

随机过程 $\{X(t), t\geq 0\}$ 满足以下条件时，称为布朗运动过程：

（1）X(0)=0;

（2） $\{X(t), t\geq 0\}$ 是独立平稳增量过程；

（3）对于固定时间的 t_f ， X(t_f) 是均值为0, 方差为 $\sigma^2t_f$ 的正态随机变量。

布朗运动过程简称布朗运动，也称维纳过程。可以得到布朗运动的分布函数为

$f(x,t)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2t}}\exp\left\{-\frac{x^2}{2\sigma^2t}\right\}$

当 $\sigma^2=1$ 时，称 $\{X(t), t\geq 0\}$ 为标准布朗运动。任意布朗运动X(t)都可以通过令 $B(t)=\frac{X(t)}{\sigma}$ 而转化为标准布朗运动。

2. 布朗运动的性质

2.1 布朗运动的性质

布朗运动 $\{X(t), t\geq 0\}$ 具有以下性质：

（1）增量具有正态性。布朗运动的增量服从正态分布，即X(t)-X(s)~N(0,t-s).

（2）增量是平稳的。即对于给定任意s>0，X(t+s)-X(t)的分布是不依赖于t.

（3）增量是独立的。

（4）路径是连续的。X(t)在t=0右连续，但处处不可导。

设 $\{X(t), t\geq 0\}$ 是随机过程，如果它的有限维分布对空间平移保持不变，即

$\begin{aligned} &P\{X(t_1)\leqslant x_1,X(t_2)\leqslant x_2,\cdots,X(t_n)\leqslant x_n|X(0)=0\} \\ =& P\{X(t_1)\leqslant x_1+x,X(t_2)\leqslant x_2+x,\cdots,X(t_n)\leqslant x_n+x \\ &|X(0)=x\} \end{aligned}$

则称此过程为空间齐次的。

可以看出，布朗运动过程具有空间齐次性。

2.2 布朗运动轨道的性质

设 $\{B(t), t\geq 0\}$ 为标准布朗运动，则对任意固定的 $t\geq 0$ ，有

$P\left\{\lim\sup_{h\to0}\left|\frac{B(t+h)-B(t)}h\right|=+\infty\right\}=1$

由上述定理可知，布朗运动的轨道具有以下性质：对任意的 $t\geq 0$ ，几乎对所有的轨道ω，B(t)关于t都没有有限的导数。

2.3 布朗运动的马尔可夫性

首先回顾连续状态空间马尔可夫过程的定义。

设 $\{X(t), t\geq 0\}$ 是一个连续时间随机过程，如果对任何t,s>0，有

$P\{X(t+s)\leqslant y|\mathcal{F}_t\}=P\{X(t+s)\leqslant y| X(t)\}$

则称 $\{X(t), t\geq 0\}$ 为马尔可夫过程，这里 $\mathcal{F}_t=\sigma\{X(u), 0\leq u\leq t\}$ 表示由 $\{X(u),0\leq u \leq t\}$ 所生成的 $\sigma$ -域。上式即称马尔可夫性。

设 $\{B(t), t\geq 0\}$ 是轨道连续的正态过程，B(0)=0，0″>，有 $E\{B(t)\}~=~0,~E[B(s)B(t)]=s\wedge t$ ，则 $\{B(t), t\geq 0\}$ 是标准布朗运动；反之亦然。

2.4 布朗运动的鞅性

设 $\{B(t), t\geq 0\}$ 是布朗运动，则：

（1） $\{B(t), t\geq 0\}$ 是鞅

（2） $\{B(t)^2-t, t\geq 0\}$ 是鞅

（3）对任何实数u， $\{e^{uB(t)-\frac{u^2}2t},t\geqslant0\}$ 是鞅

（4）对任何实数u， $\{e^{iuB(t)+\frac{u^2}2t},t\geqslant0\}$ 是鞅

3. 最大值与首中时

标准布朗运动 $\{B(t), t\geq 0\}$ 中，首次击中点a的时刻 T_a 是一随机过程，称为首中时（首达时间），即

0,B(t)=a\}”>

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