欧几里德与拓展欧几里德定理

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一、欧几里德定理

欧几里德定理就是辗转相除法的原理，用来求两个整数的最大公约数gcd(a, b)。

推理过程：

辗转相除法是由辗转相减法而来的，如果a和b（假设a>b）的最大公约数是k，那么可以这样表示a和b：

a = x*k, b = y*k；

那么a-b = (x-y)*k，此时(a-b)和b的最大公约数也是k，因为：

如果它俩的最大公约数是k*t的话，那么b可以整除k*t，(a-b)也可以整除k*t，这样的话就可以得出a也可以整除k*t，则a和b的最大公约数是k*t，与假设矛盾。

所以b和(a-b)的最大公约数也是k。

以此方法，反复辗转相减，必定得到最后a=k,b=0，即求出k。

但是减法比较慢，如果a比b大很多的话，需要减好多次，如果用除（取余）的方法就快多了。

代码见下（默认a>b，在传入参数的时候需注意）：

递归法：

int gcd(int a, int b){ return b == 0? a : gcd(b, a%b); }

非递归法：

int gcd(int a, int b){ while(b){ int tmp = b; b = a % b; a = tmp; } return a; }

二、拓展欧几里德定理

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

1、求解不定方程

拓展欧几里德定理是求这样一个方程的解：ax+by=gcd(a, b)其中a、b是不全为0的整数。

（a、b可能为负数，x、y也可能有负数）

int exgcd(int a,int b，int &x, int &y) { int t,d; if(b==0) { x=1; y=0; //注释1 return a; } d=exgcd(b,a%b,x,y); t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; //注释2 return d; }

注释1：当b=0时，方程变成了ax = gcd(a, 0) = a，所以x=1, y=0是它的解。

注释2：设x、y为当前递归的值，对应a、b；x1、y1为下次递归的值，对应b、a%b。因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以ax +by = b*x1 + (a%b)*y1 = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1 = a*y1 +b*(x1-(a/b)*y1)，即ax +by = a*y1 +b*(x1-(a/b)*y1)，所以本层循环的x是下层循环的y1，y是x1-(a/b)*y1。（以上除法都是整除法）

如果求的是方程ax + by = c的解，那么（同时放缩）（如果c不能整除gcd(a,b)，那么无整数解）

x=x0*(c/gcd(a,b))

y=y0*(c/gcd(a,b))

如果求所有解的话：

x=x0+b/d*t; 

y=y0-a/d*t;

其中t为任意数

因为如果x加个数想要保持结果还是c的话，y就需要减去一个数。当a*x0 + b*y0 = c时，

a*x + b*y = a*(x0 + b/d*t) + b*(y0 – a/d*t) = a*x0 + ab/d*t + b*y0 – ab/d*t = a*x0 + b*y0 = c。

下面代码是求方程ax + by = c的一组解：

#include <stdio.h> #include <iostream> using namespace std; int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){ int t, d; if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a; } d = exgcd(b, a%b, x, y); t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; //不明处2 return d; } int main(){ int a, b, c, x, y; while(cin>>a>>b>>c){ int d = exgcd(a, b, x, y); double X = x*(1.0*c/d); double Y = y*(1.0*c/d); cout<<X<<" "<<Y<<endl; } }

2、求解模线性方程

用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

    设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程

    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0… d-1}。

    设ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

    相关证明：

    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax’ = d (mod n))
                 = b (mod n)

    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                             = b

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14…….

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之间的间隔就求出来了.

    代码如下：

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) { int x,y,x0,i; int d=exgcd(a,n,x,y); if(b%d) return false; x0=x*(b/d)%n; //特解 for(i=1;i<d;i++) printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n); return true; }

3、用欧几里德算法求模的逆元：

       同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。 这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程 ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

参考自： http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html