【机器学习】【线性代数】正交基、标准正交基、正交矩阵，正交变换等数学知识点

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1.正交向量组

直接给定义：欧式空间V的一组非零向量，如果他们俩俩向量正交，则称是一个正交向量组。

（1）正交向量组 是 线性无关的

（2）n维欧式空间中俩俩正交的非零向量不会超过n个，即n维欧式空间中一个正交向量组最多n个向量

2.正交基

在n维欧式空间中，由n个非零向量组成的正交向量组称为正交基

3.标准正交基

在n维欧式空间中，由n个单位向量组成的正交向量组称为标准正交基

比如3维欧式空间中，

(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交向量组，因为他们俩俩向量正交

(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个正交基，因为此正交向量组由n个非零向量组成

(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是一个标准正交基，因为每个向量都是单位向量

4.单位矩阵

如果一个矩阵满足一下几个条件，它就是一个单位矩阵，记作E或者I:

（1）是一个方阵

（2）主对角线上的元素都是1（主对角线是从左上到右下的对角线）

（3）除了主对角线，其他位置的元素都是0

如下就是一个3阶单位矩阵

[[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]]

4.正交矩阵

The orthogonal matrix，正交矩阵，如果一个矩阵满足以下几个条件，则此矩阵就是正交矩阵：

（1）是一个方阵

（2）和自己的转置矩阵的矩阵乘积 = 单位矩阵E

如果A为一个正交矩阵，则A满足以下条件：

1) A的转置矩阵也是正交矩阵

2)  （E为单位矩阵）

3) A的各行是单位向量且两两正交

4) A的各列是单位向量且两两正交

5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

6) |A| = 1或-1

7)  ，A的转置矩阵等于A的逆矩阵

5.正交变换

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和他们的夹角都不变。

特别地：标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

欧式空间V中的正交变换只包含：

（1）旋转

（2）反射

（3）旋转+反射的组合（即瑕旋转）

正交变换T的性质

（1）正交变换

 
 

不会改变向量间的正交性，如果

 
 

和

 
 

正交，则

 
 

和

 
 

亦为正交。

（2）如果

 
 

和

 
 

皆为正交矩阵，则

 
 

亦为正交矩阵。

（3）如果

 
 

为正交矩阵，

 
 

的反矩阵

 
 

亦为正交矩阵。

（5）对于正交变换

 
 

，如果

 
 

和

 
 

可以做内积，

 
 

和

 
 

做内积之值等于

 
 

和

 
 

做内积之值。

原矩阵A: [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] 正交变换T: [[2 0 0] [0 3 0] [0 0 4]] A经过T变换的矩阵TA: [[ 2 4 6] [12 15 18] [28 32 36]]

可知

[2,0,0]中的2是将A中[1,2,3]向量”拉长”一倍得到[2,4,6]

[0,3,0]中的3是将A中[4,5,6]向量”拉长”三倍得到[12, 15, 18]

[0,0,4]中的4是将A中[7,8,9]向量”拉长”四倍得到[28, 32, 36]

这个是拉伸，如果T中主对角线上的值是小数，则表示将A中对应向量“缩小”一定比例

如果T中主对角线位置外的其他位置上的元素不为0，则表示对A进行一定方向的旋转

这些概念在图像处理里面显得更为重要，可以看看OpenCV中的几何变换，就是用变换矩阵乘上原矩阵得到目标矩阵。