高等数学：自然对数

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对于
$a^b=N$：

a叫作底数，b叫作指数，N($a^b$ 的结果)叫作a的b次幂。

对数的定义

当我们知道底数a和指数b，要求b个a相乘（a的b次幂）的值，进行幂运算就可以。

那么当我们知道底数a和它的若干次幂N的值，要求指数b的值时该怎么办呢？

这里就要引出对数运算了。

对于已知底数a和它的幂N，倒过来求指数的运算叫作对数运算，这个运算（对数）记作
$$lo{g}_{a}N$$
读作“以a为底N的对数”，在这里a依然叫作“底数”，N叫作“真数”。

在前面的例子里 $$b=lo{g}_{a}N$$

底数和真数的范围

关于对数中底数和真数的取值，我们要注意：

（1）$a＞0$，且$a\ne 1$。

如果$a＜0$，除少极少数“恰巧”的情况，绝大多数情况下指数是不存在的。

如果$a＝1$，a的任何次幂都还是1，对数变得没有意义。

（2）不论以任何数（$a＞0，a\ne 1$）为底，当真数为1时，对数为0，也就是 $lo{g}_{a}1=0$ 。

这很容易理解，任何数的0次方都为1，所以只要真数为1，指数必然是0。

（3）底和真数相同时，对数的值为1，也就是 $lo{g}_{a}a=1$

这同样很容易理解，任何数的1次幂就是它本身，所以如果底数和真数相同，就是1次幂。

类比乘除法

不少同学在理解对数时存在困难。

因为它的符号比起之前学过的加减乘除指数开方要略微复杂，数值上的对应关系也不那么直观。这里用乘除法来类比指数和对数，以帮助理解。

对于乘法：$$a\ast b=N$$

我们称a为被乘数，b为乘数，N为a和b的积，该式表示b个a相加得到N

对于幂： $$a^b=N$$

我们称a为底数，b为指数，N为a的b次幂，该式表示b个a相乘得到N

对于除法：$$N/a=b$$

我们称N为被除数，a为除数，b为N除以a的商

该式为乘法$a\ast b=N$的逆运算，在已知商N和被乘数a的情况下，求多少个a相加可以得到N

对于对数：$$lo{g}_{a}N=b$$

我们称N为真数，a为底数，b为以a为底N的对数

该式为幂$$a^b=N$$的逆运算，在已知幂（真数）N和底数a的情况下，求多少个a相乘可以得到N

这样比较下来，是不是对对数更明白了些呢？

这里额外要提到的，就是ab与ba虽然结果相同，但它们的含义不同。

ab表示b个a相加，ba表示a个b相加，二者不可搞混。

在对数里，b个a相乘（ $a^b$ ）和a个b相乘 （$b^a$）的结果就大不一样了。

对数的表达方式使用了符号log，不像加减乘除指数开方那么简单明了，不妨这样想：

每看到对数表达式： $lo{g}_{a}M$，脑子里自动反应出另一种形式： $a^{?}=M$，它就是这个“？”

这样在理解和运用对数时会更加直观。

对数运算法则

与上篇相类似，我们用乘除法作类比，来帮助理解对数运算法则

（1）$$lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N=lo{g}_a(M\ast N)$$

原理：（1）对于指数运算有 $a^p\ast a^q=a^{p+q}$ ，

（2）令$a^p=M，a^q=N$，则有$p=lo{g}_{a}M$，$q=lo{g}_{a}N$，上式： $$M\ast N=a^{p+q}$$

（3）两边取以a为底的对数：$$lo{g}_a(M\ast N)=lo{g}_a(a^{p+q})=p+q=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N$$

与乘除法相比较：

（1）对于乘法有$a\ast p+a\ast q=a\ast (p+q)$，

（2）令$a\ast p=M，a\ast q=N$，则有$p=M/a，q=N/a$，上式：$$M+N=a\ast （p+q）$$

（3）两边同时除以a：$$M/a+N/a=p+q=（M+N）/a$$

幂运算里指数之间的加减关系作用于底数之后就是乘除关系。因而两个幂相乘所对应的指数就是分别两个幂的指数相加。

运用 $a^{?}=M$ 的方式直观理解： ${?}_M$ 个a相乘得M， ${?}_N$个a相乘得N，那么要得$M\ast N$，需有${?}_M+{?}_N$个a相乘才行，所以就是${?}_M+{?}_N={?}_{M\ast N}$ ，也就是$$lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N=lo{g}_a(M\ast N)$$

（2） $$lo{g}_{a}M-lo{g}_{a}N=lo{g}_a(M/N)$$

其原理与（1）类似，把减法看作“加上负数”，除法看作“乘以倒数”就可以，请自行推导、比较。

（3） $$lo{g}_a{M}^n=nlo{g}_{a}M$$

原理：（1） $$M^n=M\ast M\ast M\ast \cdots \ast M$$（n个M相乘）

（2）两边同时取以a为底的对数：

左边= $lo{g}_a{M}^n$

右边= $lo{g}_a(M\ast M\ast M\ast \dots \dots \ast M)$（n个M相乘），

（3）根据$lo{g}_a(M\ast N)=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N$

右边= $lo{g}_{a}M+lo{g}_a(M\ast M\ast \dots \dots \ast M)$ （n-1个M相乘）

$=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}M+lo{g}_a(M\ast \dots \dots \ast M)$（n-2个M相乘）

$\cdots$

$=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}M+\dots \dots +lo{g}_{a}M$ （n个 $lo{g}_{a}M$相加）

$=nlo{g}_{a}M$

此外： $$lo{g}_{a^m}N=lo{g}_a{N}^{1/m}=(1/m)lo{g}_{a}N$$

证明：令 $p=lo{g}_{a^m}N$ ，于是$(a^m{)}^p=N$ ，

所以 $$lo{g}_{a}N=m\ast p=m\ast lo{g}_{a^m}N$$

（4）换底公式： $$lo{g}_{a}b=lo{g}_{c}b/lo{g}_{c}a$$

这是非常有用的公式，可以把不同底的对数换成相同的底，便于进一步运算。

并且这个底是任意选取的，可以根据实际需要自选任何数字（c＞0，c≠1）

证明：令 $c^p=b，c^q=a(c=a^{1/q})$，则有 $p=lo{g}_{c}b，q=lo{g}_{c}a$

于是 $$lo{g}_{a}b=lo{g}_a{c}^p=p\ast lo{g}_{a}c=p\ast lo{g}_a{a}^{1/q}=p/q=lo{g}_{c}b/lo{g}_{c}a$$
反过来，换底公式可以看作为把相同底的两个对数的除法“合并”成一个数的运算。

自然对数的底

我们定义自然对数的底为： $$e=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+1/n{)}^n$$

式子右边表示当n趋近于无穷大的时候 $(1+1/n{)}^n$ 的取值

e是无理数，它的值约等于2.71828

e更深层次的含义和更多的运用是高等数学的内容，这里只作初步了解

以e为底数的对数通常写作$ln$，比如ln2、ln55.55、 $ln(x^2+3)$ 等。

在当前阶段，把e当成一个普通的无理数就可以了。

此外，以10为底的对数通常写作lg，比如$lg100=2$，$lg5$，$lgX$等。

对数函数

具有形如 $$f(x)=lo{g}_{a}x$$ 形式的函数叫作对数函数

$a＞0，a\ne 1$，函数的定义域为$(0，+\infty )$

现在我们来看几个具体函数的例子

红色： $f(x)=lo{g}_{2}x$ 蓝色： $g(x)=lo{g}_{1/2}x$

（一）单调性

当a＞1时是增函数，当$0＜a＜1$时是减函数

所有的对数函数都经过点（1，0），（类似的，所有的指数函数都经过点（0，1））

（二） 对称性

与指数函数相类似，对数函数本身没有对称性，但对数函数之间有

函数 $f(x)=lo{g}_{a}x与g(x)=lo{g}_{1/a}x$ 关于x轴对称，相同的x对应的函数值互为相反数

很容易从对数的运算法则推断出： log_{1/a}x=-log_{a}x

（三）周期性

对数函数没有周期性

（四）逆函数

对数函数 f(x)=log_{a}x 与指数函数 g(x)=a^{x} 互为逆函数（a＞0，a≠1）

它们的图像关于直线y=x对称

下面是具体例子：

红色：f(x)=log_{2}x 蓝色： g(x)=2^{x} 黑色：y=x（对称轴）

（五）对数函数换底

现在把前面刚刚讲过换底公式：log_{a}b=log_{c}b/log_{c}a运用到对数函数f(x)=log_{a}x中

我们把它换成两个以e为底的对数的商，（也可以用其他底数，用e写起来比较省力）

f(x)=log_{a}x=lnx/lna=(1/lna)*lnx

从这个式子可以惊讶的发现：1/lna是常数，也就是说，对于所有仅仅是底数a不同，都具有f(x)=log_{a}x形式的对数函数，它们的图像之间只是相差常数1/lna倍！