反正切函数的应用

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Problem Description

反正切函数可展开成无穷级数，有如下公式 

(其中0 <= x <= 1) 公式(1) 

使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如，最简单的计算PI的方法： 

PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…) 公式(2) 

然而，这种方法的效率很低，但我们可以根据角度和的正切函数公式： 

tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3) 

通过简单的变换得到： 

arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4) 

利用这个公式，令p=1/2,q=1/3，则(p+q)/(1-pq)=1，有 

arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1) 

使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1)，速度就快多了。 
我们将公式(4)写成如下形式 

arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c) 

其中a,b和c均为正整数。 

我们的问题是：对于每一个给定的a（1 <= a <= 60000），求b＋c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解，要求你给出b+c最小的解。 

Input

输入文件中只有一个正整数a，其中 1 <= a <= 60000。

Output

输出文件中只有一个整数，为 b+c 的值。

Sample Input

1

Sample Output

5

Solving Ideas

由p = 1 / b, q = 1 / c，则(p + q) / (1 – pq) = 1 / a => 1 / a = (1 / b + 1 / c) / (1 – 1 / (b * c)) => bc – 1 = a(b + c) => c = (ab + 1) / (b – a).由a < b <= c 可得 b * (b – a) <= a * b + 1.

#include <stdio.h> int main() { int a; long long ans, b; scanf("%d", &a); for (b = a + 1; b * (b - a) <= a * b + 1; b++) { if ((a * b + 1) % (b - a) == 0) ans = (a * b + 1) / (b - a) + b; } printf("%lld\n", ans); return 0; }