C语言基础：杨辉三角

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杨辉三角简介：

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623—-1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。

二项式定理： 

杨辉三角是二项式（x+y）^n展开后各项的系数。

比如：

（a+b）^0展开后是为1，系数为1；

 （a+b）^1展开后是为a+b，系数为1,1；

   (a+b）^2展开后是为a^2+2ab+b^2，系数为1,2,1；

    (a+b）^3展开后是为a^3+3a^2b+3ab^2+b^3，系数为1,3,3,1；

    (a+b）^4展开后是为a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4，系数为1,4,6,4,1；

     ………….

   打印杨辉三角：

          1.1：找规律：

           杨辉三角各行的系数有如下规律：

           （1）：各行的第一个数是1，最后一个数也是一。

           （2）：每一行的个数等于该行行数 。

           （3）：从第三行起。除第一个数和最后一个数外，中间的数都是等于它上一行前一列的数和上一行本列数之和。

             1.2：根据规律一步一步实现：

                         1.2.1 实现各行的第一个数是1，最后一个数也是一：

#include<stdio.h> #define N 10 int main() { int arr[N][N] = { 0 }; //要先初始化 int i = 0;//行数 int j = 0;//列数 for (i = 0; i < N; i++) { arr[i][0] = 1; //每行首元素是 1 for (j = 0; j <= i; j++)//为啥j<=i呢？因为每一行的个数（每一列多少个=j) //等于该行行数 (i) { if (i == j) arr[i][j] = 1; //每行末位是 1 } } //打印出来看看上面写的对不对 for (i = 0; i < N; i++) { for (j = 0; j <= i; j++) { printf("%d ", arr[i][j]); } printf("\n"); } return 0; }

  调试结果如下：

当然，现在还只是直角三角形的形式，后面我们会插入空格形成等腰三角形的形式。

                     1.2.2：处理中间元素 ：

根据规律（3）：从第三行起。除第一个数和最后一个数外，中间的数都是等于它上一行前一列的数和上一行本列数之和。我们可以怎么写成代码形式呢？

我们先举例子：

第4行第2个数（3）=第3行第2个数（2）+第3行第一个数（1）；

i表示行，j表示列，是不是i>=2时（i从0开始的）表示从第三行起：

有           arr[ i ][ j ]=arr[ i-1 ][ j ]+arr[ i-1 ][ j-1 ]

#define N 10 int main() { int arr[N][N] = { 0 }; //要先初始化 int i = 0;//行数 int j = 0;//列数 for (i = 0; i < N; i++) { arr[i][0] = 1; //每行首元素是 1 for (j = 0; j <= i; j++)//为啥j<=i呢？因为每一行的个数（每一列多少个=j)等于该行行数 (i) { if (i == j) { arr[i][j] = 1; //每行末位是 1 } if (i >= 2 && j >= 1) //中间元素在第三行第二列才开始有， //之后每一行的中间元素都要执行。 { arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j-1]; } } } //打印 for (i = 0; i < N; i++) { for (j = 0; j <= i; j++) { printf("%d ", arr[i][j]); } printf("\n"); } return 0; }

调试结果如下：

       1.3代码精简化：

当然，打印上面一幅图方法有很多啊，比如上面写的代码，最后打印时其实可以在复值完每一行后直接打印这一行的数据，再加个换行符。自己对比一下。

#define N 10 int main() { int arr[N][N] = { 0 }; //要先初始化 int i = 0;//行数 int j = 0;//列数 for (i = 0; i < N; i++) { arr[i][0] = 1; //每行首元素是 1 for (j = 0; j <= i; j++)//为啥j<=i呢？因为每一行的个数（每一列多少个=j)等于该行行数 (i) { if (i == j) { arr[i][j] = 1; //每行末位是 1 } if (i >= 2 && j >= 1) //中间元素在第三行第二列才开始有，之后每一行的中间元素都要执行。 { arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j-1]; } printf("%6d", arr[i][j]);//直接打印这一行数据 } printf("\n"); } return 0; }

其实在给各行第一个数和最后一个数赋值为1时，可以只用到一个循环 。不需要两个for循环的，函数和列数是相同的，上面的代码是不是要判断if (i == j)，i最后和j是相同的。

下面这段代码也是打印杨辉三角的。

#define N 10 int main() { int a[N][N]; int i, j; for (i = 0; i < N; i++) { a[i][i] = 1;//使对角线元素为1；（每一行最后一个元素） a[i][0] = 1;//第一列元素为1 } for (i = 2; i < N; i++)//从第三行开始 { for (j = 1; j <= i - 1; j++)//第三行中间元素是第二列开始，j<=i-1; //中间元素就是从2列到i-1列的 { a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i - 1][j - 1]; } } //打印 for (i = 0; i < N; i++) { for (j = 0; j <= i; j++) { printf("%d ", a[i][j]); } printf("\n"); } return 0; }

1.4：打印等腰三角形的杨辉三角：

我们已经得到了如图所示的杨辉三角，想要变成等腰三角形形式只需要在每行打印空格就OK了。

比如我们先把前五行打印好：

首先我们看最后一行出现了三位数，三位数要占三个字符，所以我们打印使直接分配三个空间，%-3d,左对齐，输出的数字占三个字符的位置。%-3d不理解的话我直接看代码加图吧

int main() { int a = 1; int b = 11; int c = 111; printf("0%-3d0\n", a); printf("0%-3d0\n", b); printf("0%-3d0", c); return 0; }

输出结果就是表格中的一样，左对齐，占三个字符，自己验证一下。

b = 10 - i; while (b--) { printf(" "); } 

比如我们以上面代码形式输入空格，i表示行，i=0时，b=10,10次循环，一次循环输出两个空格，i++,第二行就是2*9个空格，依次计算，最后i=9，输出两个空格

为了输出如上所示的等腰三角形。首先是不是要确保第一个元素在最中间的位置，所以我们先算一算最后一行占了多少个字符空间。

每个元素占三个字符空间，打印一个元素后要加一个空格来保持元素之间不要太密。四个字符空间，第一个元素又打印了两个字符，2+10*4=42；

所以第一个元素要放在42/2=21的位置。第一个元素刚好前面打印20个空格就OK了

代码如下：

#define N 10 int main() { int arr[N][N] = { 0 }; //要先初始化 int i = 0;//行数 int j = 0;//列数 int b = 0; for (i = 0; i < N; i++) { arr[i][0] = 1; //每行首元素是 1 b = 10 - i; while (b--) { printf(" "); } for (j = 0; j <= i; j++)//为啥j<=i呢？因为每一行的个数（每一列多少个=j)等于该行行数 (i) { if (i == j) { arr[i][j] = 1; //每行末位是 1 } if (i >= 2 && j >= 1) //中间元素在第三行第二列才开始有，之后每一行的中间元素都要执行。 { arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j-1]; } printf("%-3d ", arr[i][j]);//直接打印这一行数据 } printf("\n"); } return 0; } 

调试结果如下：