概率论基础 —— 9. 协方差

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这是一个非常重要的知识，我这倒不是说考试会如何关照这个知识点。而是说如果你想进一步深入数据科学的领域，就会在很多论文、模型里发现大量用于评判模型和分析样本关联度特征时，会经常用到协方差的概念。这也是为什么我在上一章节里提到协方差后，在这一章里还会做一点补充说明的原因。

关于协方差的一个实际生活例子

首先回顾一下协方差的公式

$$Cov(X,Y)=(X-E(X))(Y-E(Y))$$

及其相关系数

$$\rho =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$$

以及数据关联特征

我们这里举个例子，说明协方差到底是来做什么的。

比方说，在银行风控系统中，抵押人可能有这么一些数据指标，比如说年龄、性别、学历、抵押资产（固定资产、现金、证券期票、跟其他债务人的借据等），你作为一个银行的工作人员，在确保抵押人的资料真实可信的前提下，你如何确定放贷给某个人的资金是安全的，或者大概率是安全的？

你可能需要一些资料帮助你做出这个判断。比如说银行历史上违约情况进行分析。那么从历史上，贷款人的学历，有博士、硕士、本科、高中以及其他，月收入有>50000，20000 < X < 50000, 10000 < X < 20000等多个不同档的数据。

比方说，你 令 $X=学历$, 令$Y=违约率$。那么我们可以通过协方差计算每一个样本的情况：

$$Cov(X,Y)=[X-\bar{X}][Y-\bar{Y}]$$

然后把样本计算的结果加起来，$Co{v}_1+Co{v}_2+\cdots +Co{v}_n$ 这样可以得到一个值，比如K。

如果 $K>0$， 说明样本之间成正相关；
如果$K<0$，说明样本之间成负相关；
如果$K\approx 0$，说明样本之间不相关。

这样，对历史样本进行统计后，你可能就会得到这样一个知识：

如果贷款人，有高学历、高收入，高的抵押资产，那么他的违约概率是极低的，而低收入、低学历、低资产的贷款人，违约风险极高。这样，在你审批的时候，就能通过这些条件快速的筛选合适的贷款人，尽最大可能性避免贷款出现违约风险。

一些协方差用到的推广公式

$$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$$

$$Cov(X,X)=D(X)$$

$$Cov(X,C)=0$$

$$Cov(aX,bY)=ab\cdot Cov(X,Y)$$

$$Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$$

$$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$

做点题吧

设X， Y为随机变量，D(X) = 25, D(Y) = 16，Cov(X, Y) = 8，则 $\rho =？$

解：

$$\rho =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)\sqrt{D(Y)}}}=\frac{8}{\sqrt{25}\sqrt{16}}=\frac{2}{5}$$

已知二元离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布如下：

解（1） 根据我们之前对于离散型二维随机变量的知识点，可以知道

解（2） X和Y的相关系数，最重要的就是求解出D和E分别是多少。解题方式有两种，第一种是一个一个的算，但这样比较耗费时间，第二种就是直接带入公式求解，我们选择第二种。

相关系数方程是 $\rho =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$

从上表，我们可以直接得到：

$$E(X)=-1\times 0.6+2\times 0.4=0.2$$
$$E(X^2)=(-1{)}^2\times 0.6+2^2\times 0.4=2.2$$
$$D(X)=E(X^2)-E^2(X)=2.2-0.04=2.16$$

然后对于Y来说，同样可以：

$$E(Y)=-1\times 0.3+1\times 0.3+2\times 0.4=0.8$$
$$E(Y^2)=(-1{)}^2\times 0.3+1^2\times 0.3+2^2\times 0.4=2.2$$
$$D(Y)=E(Y^2)-E^2(Y)=2.2-0.64=1.56$$

此外：

$$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$ 而对于E(XY)来说，你可以令XY = Z，所以对于表来说，就可以变成

由于Z = X Y，所以

E(Z) = -0.5

那么

$$\rho =\frac{-05-0.2\times 0.8}{\sqrt{2.16}\sqrt{1.56}}$$

用计算器算一算，就可以得到：-0.3595