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前言
辅助角公式在三角变换中的角色太重要了。三角变换中的许多变形都要由这个公式来完成最终的华丽转身，摇身一变为正弦型 f ( x ) = A sin ( ω x + ϕ ) + k f(x)=A\sin(\omega x+\phi)+k f(x)=Asin(ωx+ϕ)+k或余弦型 g ( x ) = A cos ( ω x + ϕ ) + k g(x)=A\cos(\omega x+\phi)+k g(x)=Acos(ωx+ϕ)+k，从而完成求周期，求值域、求单调性，求对称性，求奇偶性等等的解题要求。
辅助角公式
变形前的模样： 3 sin x + 4 cos x 3\sin x+4\cos x 3sinx+4cosx； sin x + cos x \sin x+\cos x sinx+cosx； 3 2 s i n θ ± 1 2 c o s θ \cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta 23sinθ±21cosθ； 3 s i n θ ± c o s θ \sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta 3sinθ±cosθ；
抽象后的模样： a sin θ + b cos θ a\sin\theta+b\cos\theta asinθ+bcosθ，其中系数 a , b ∈ R a,b\in R a,b∈R；一般情形下 a ≠ 0 a\neq 0 a=0， b ≠ 0 b\neq 0 b=0，
常用变形依据：
sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β = sin ( α + β ) \sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta=\sin(\alpha+\beta) sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ=sin(α+β)[此处是逆向使用公式；化为正弦型，不容易出错]
cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β = cos ( α − β ) \cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta=\cos(\alpha-\beta) cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ=cos(α−β)[此处是逆向使用公式；化为余弦型，很容易出错]
具体变形过程：1
a sin θ + b cos θ = a 2 + b 2 ( a a 2 + b 2 sin θ + b a 2 + b 2 cos θ ) = a 2 + b 2 ( cos ϕ ⋅ sin θ + sin ϕ ⋅ cos θ ) = a 2 + b 2 sin ( θ + ϕ ) \begin{align*} a\sin\theta+b\cos\theta &=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta\right) \\ &=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\phi\cdot \sin\theta+\sin\phi\cdot \cos\theta)\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi) \end{align*} asinθ+bcosθ=a2+b2(a2+b2asinθ+a2+b2bcosθ)=a2+b2(cosϕ⋅sinθ+sinϕ⋅cosθ)=a2+b2sin(θ+ϕ)
备注：其中辅助角 ϕ \phi ϕ 满足条件 t a n ϕ = b a tan\phi=\cfrac{b}{a} tanϕ=ab，由于有辅助角 ϕ \phi ϕ 的参与，使得原来的两种三角函数 sin θ \sin\theta sinθ 和 cos θ \cos\theta cosθ 的线性表示就可以转化为一种三角函数[正弦或者余弦]，所以这个公式好多人就随口称之为辅助角公式，也有人称为化一公式。此处针对辅助角 ϕ \phi ϕ 主要强调其存在性而不是唯一性，比如上述变形的结果 a 2 + b 2 sin ( θ + ϕ ) \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi) a2+b2sin(θ+ϕ) ，也可以等价写成 a 2 + b 2 \sqrt{a^2+b^2} a2+b2 sin ( θ + 2 k π + ϕ ) \sin(\theta+2k\pi+\phi) sin(θ+2kπ+ϕ)， k ∈ Z k\in Z k∈Z，由于辅助角 ϕ \phi ϕ 主要强调其存在性而不是唯一性，由最简原则可知，我们令 k = 0 k=0 k=0 ，即得到结果 a 2 + b 2 sin ( θ + ϕ ) \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi) a2+b2sin(θ+ϕ)，
在实际学习过程中，如果呆板的利用上述公式，会使得我们的学习变得很被动，我们可以将 a a a、 b b b 中的公因式先提取到最外层，使得 a a a、 b b b 变得更小，更好操作，比如
1 + 3 2 sin θ + 3 + 3 2 cos θ = 1 + 3 2 ( sin θ + 3 cos θ ) = 1 + 3 2 × 2 ( sin θ ⋅ 1 2 + cos θ ⋅ 3 2 ) = ( 3 + 1 ) sin ( θ + π 3 ) \begin{align*} &\cfrac{1+\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\cfrac{3+\sqrt{3}}{2}\cos\theta\\ &=\cfrac{1+\sqrt{3}}{2}(\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta)\\ &=\cfrac{1+\sqrt{3}}{2}\times2(\sin\theta\cdot\cfrac{1}{2}+\cos\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})\\ &=(\sqrt{3}+1)\sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})\\ \end{align*} 21+3sinθ+23+3cosθ=21+3(sinθ+3cosθ)=21+3×2(sinθ⋅21+cosθ⋅23)=(<
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