Quadratic Assignment Problem 二次分配问题

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1 问题定义

        二次分配问题（Quadratic Assignment Problem，QAP）是一种组合优化问题，涉及确定将设施分配到位置的最优方案。它的目标是找到最佳分配，以最小化设施对之间的总成本或距离，考虑到它们之间的相互作用以及对应位置之间的距离。

1. 定义：
   • 设施集合：设施集合表示为F = {f1, f2, …, fn}，其中每个设施fi代表一个具体的设施。
   • 位置集合：位置集合表示为L = {l1, l2, …, ln}，其中每个位置lj代表一个具体的位置。
   • 设施之间的流量：表示为Flow矩阵F，其中F(i, j)表示将设施fi分配到位置lj时，流量的大小。
   • 位置之间的距离：表示为Distance矩阵D，其中D(i, j)表示将设施fi分配到位置lj时，位置之间的距离。
2. 目标函数：
   • 目标是将设施分配到位置，以最小化总成本或距离。通常采用以下形式的目标函数：
     min ΣΣ F(i, k) * D(j, l) * X(i, j) * X(k, l)
     其中，X(i, j)是二进制变量，表示设施fi是否分配到位置lj。
3. 约束条件：
   • 设施分配约束：每个设施只能分配到一个位置。
     Σ X(i, j) = 1，对于所有的i∈F
   • 位置分配约束：每个位置只能分配一个设施。
     Σ X(i, j) = 1，对于所有的j∈L

2 读取文件

#ifndef INPUT_H #define INPUT_H #include <string> #include <vector> class Input { public: Input(const std::string& filename); /// <summary> /// 读取文件内容 /// </summary> void read(); /// <summary> /// 返回文件名 /// </summary> /// <returns></returns> std::string getFilename() const; /// <summary> /// 数据的大小 /// </summary> /// <returns></returns> int getDimension() const; /// <summary> /// 返回距离矩阵 /// </summary> /// <returns></returns> std::vector< std::vector<int> > getDistances() const; /// <summary> /// 返回位置矩阵 /// </summary> /// <returns></returns> std::vector< std::vector<int> > getFlow() const; private: //文件名 std::string filename_; //维度 int dimension_; //距离矩阵 std::vector< std::vector<int> > distances_; //位置矩阵 std::vector< std::vector<int> > flow_; }; #endif 

3 解决方案的父类设计

#ifndef QAP_SOLVER_H #define QAP_SOLVER_H #include <vector> #include <algorithm> class QAPSolver { public: QAPSolver(const std::vector<std::vector<int>>& flowMatrix_, const std::vector<std::vector<int>>& distanceMatrix_); virtual ~QAPSolver() {} // 解决QAP的纯虚函数 virtual void execut() = 0; // 获取解决后的最优排列 virtual std::vector<int> getBestSolution() const; // 获取解决后的目标函数值 virtual int getCost() const; // 计算成本 int claculCost(std::vector<int>& solution); protected: //解决方案 std::vector<int> bestSolution; //成本 int cost; // 大小 int size; //距离矩阵 std::vector< std::vector<int> > distanceMatrix; //位置矩阵 std::vector< std::vector<int> > flowMatrix; }; #endif // !QAP_SOLVER_H 

3 贪心算法

贪心算法的思想是基于局部最优选择来构建整体最优解。具体来说，在解决QAP的贪心算法中，我们按照一定的规则选择变量的排列顺序，以使得每次选择都是当前局部最优的。贪心算法的每一步都基于当前最佳选择，而不考虑整体的最优解。

在解决QAP的贪心算法中，我们首先生成一个初始的排列，然后根据特定的规则，逐个选择未安排的变量并插入到已安排的变量中，以便最小化目标函数的值。在每次选择时，我们计算当前变量与已安排变量之间的成本，并选择使成本最低的变量进行插入。

#ifndef GREEDY_H #define GREEDY_H #include "QAPSolver.h" class greedy : public QAPSolver { public: greedy(const std::vector<std::vector<int>>& flowMatrix_, const std::vector<std::vector<int>>& distanceMatrix_) : QAPSolver(flowMatrix_, distanceMatrix_) {}; void execut() override; }; #endif // !GREEDY_H #include "greedy.h" void greedy::execut() { //初始化排列 std::vector<int> permutation(size); for (int i = 0; i < size; ++i) { permutation[i] = i; } std::sort(permutation.begin(), permutation.end(), [&](int a, int b) { int aSum = 0, bSum = 0; for (int j = 0; j < size; ++j) { aSum += flowMatrix[a][j] * distanceMatrix[permutation[j]][permutation[a]]; bSum += flowMatrix[b][j] * distanceMatrix[permutation[j]][permutation[b]]; } return aSum < bSum; }); bestSolution = permutation; } 

4 运行结果 

#include <iostream> #include <memory> #include "Input.h" #include "greedy.h" using namespace std; int main(int argc, char* argv[]) { string filename = ""; Input input(filename); unique_ptr<QAPSolver> pGreedy = make_unique<greedy>(input.getDistances(),input.getDistances()); pGreedy->execut(); cout << "Greedy Search: " << endl; cout << "\tCost: " << pGreedy->getCost() << endl; cout << "\tSolution: "; vector<int> solution = pGreedy->getBestSolution(); for (int i = 0; i < solution.size(); ++i) { cout << solution[i] << " "; } cout << endl; cout << endl; }

运行结果