高等数学(预备知识之不等式)

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一. 高频出现的变换公式

a=a+1-1	1-a=1+(-a)
$a=\frac{1}{\frac{1}{a}}$	$a=\frac{3a}{3}$
$\frac{a}{b}=a*\frac{1}{b}$	$1-\frac{1}{a}=1+\frac{1}{-a}$
$\frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}$	$\frac{b}{a}-\frac{d}{c}=\frac{bc-ad}{ac}$

二.重要公式

a²– b²=(a+b)(a-b)	a² $\pm$ 2ab +b²=(a $\pm$ b)²
a³+b³=(a+b)(a²– ab+b²)	a³– b³=(a – b)(a²+ab+b²)
(a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³	(a – b)³= a³– 3a²b+3ab²– b³
(x^y)的平方为(x^2y)

三.因式分解

我们直接上例题
例题一: x²-x – 56=0

例题二: 3x²+8x – 3=0
$\quad$ $\quad$ 3 $\quad$ $\quad$ -1
$\quad$ $\quad$ 1 $\quad$ $\quad$ 3
(3x-1)(x+3)=0

四.不等式

4.1不等式的常用性质

性质一: 不等式两边分别乘负号,不等式要变号
-5<3 —–> 5>-3
-5<a<3 —–> -3<-a<5

性质二: a>b c>d —> a+c > b+d 对于abcd都是正数的情况下, 乘和乘方同样适用

(常考类型题一):
判断两个数或方程大小
相减法: A-B 结果大于0, 则A>B
相除法: A/B 结果大于1, 则A>B

b —> ac² > bc² (错误的)
注意: 要考虑c=0的情况

(常考类型题二): 求取值范围

已知 2<a<3, -2<b<-1, 求2a+b的取值范围
2*2<2a<2 *3 —> 4<2a<6 —> 4+(-2)<2a+b<6+(-1) —> 2<2a+b<5
设2<a<3, -2<b<-1,则2a-b的范围是()
-2<b<-1 —> 1<-b<2
2* 2<2a<2*3 —> 4<2a<6 —> 4+1<2a-b<2+6 —> 5<2a-b<8
注意: 只有同方向不等式才可以相加, 不等式中是不可以相减的,如果要相减得换种思考方法,那就是两边都乘-1

为什么不等式不能相减?
因为大的加大的一定大于两个较小的之和
但是大的减大的就不一定大于小的减小的了

(常考类型题三): 证明题
已知a>b>0, c<d<0, e<0,
求证: $\frac{e}{a-c}$ > $\frac{e}{b-d}$
解:
$\because$ e<0
$\therefore$ $\frac{1}{a-c}$ < $\frac{1}{b-d}$ (不等式两边同乘一个负数,不等号要改变)
整理得 b-d < a-c
$\because$ a>b, c<d
$\therefore$ b-d < a-c 成立
$\therefore$ $\frac{1}{a-c}$ < $\frac{1}{b-d}$
$\therefore$ $\frac{e}{a-c}$ > $\frac{e}{b-d}$

(证明过程有待改善,请大佬评论区指教哈)

4.2基本不等式

a²+b² $\geq$ 2ab
(满足: 一正二定三相等)

演化出来的公式

a+b $\geq$ 2 $\sqrt{ab}$

ab $\leq$ ( $\frac{a+b}{2}$ )²

$\frac{a^2+b^2}{2}$ $\geq$ ( $\frac{a+b}{2}$ )²
(怎么来的)

4.2.1推导过程

(a-b)²
a²-2ab+b² $\geq$ 0
a²+b² $\geq$ 2ab

4.2.2基本不等式的应用

一正(就是A B 都必须是正数):

已知x<0, 求函数y=x+ $\frac{1}{x}$ 的最大值
解: y= -(-x)- $\frac{1}{-x}$ —> y= -[(-x)+ $\frac{1}{-x}$ ] 把负号提出来
根据 a+b $\geq$ 2 $\sqrt{ab}$
$\therefore$ -x+ $\frac{1}{-x}$ $\geq$ 2
$\therefore$ -(-x)- $\frac{1}{-x}$ $\leq$ -2 负号还回去
当x= $\frac{1}{x}$ 时,取得最值
解得 x=1或x=-1
$\because$ x<0
$\therefore$ x=1(舍去)
当且仅当x=-1时, y取得最大值为-2

二定(就是1.在A+B为定值时，便可以知道AB的最大值；2.在AB为定值时，就可以知道A+B的最小值):

已知a>0, b>0, ab=36, 求a+b的最小值
解: 已知 a+b $\geq$ 2 $\sqrt{ab}$
$\therefore$ a+b $\geq$ 2*6
$\therefore$ a+b $\geq$ 12
即 a+b的最小值为12
已知a>0, b>0, a+b=18, 求ab的最大值
解: 已知 ab $\leq$ ( $\frac{a+b}{2}$ )²
$\therefore$ ab $\leq$ 9²
$\therefore$ ab $\leq$ 81
即 ab的最大值为81
已知 x>3, 函数y=x+ $\frac{1}{x-3}$ , 当x为何值时, 函数有最值, 并求其最值。
解: y=(x-3)+ $\frac{1}{x-3}$ +3, 根据a+b $\geq$ 2 $\sqrt{ab}$
$\therefore$ (x-3)+ $\frac{1}{x-3}$ $\geq$ 2 $\sqrt{1}$
$\therefore$ (x-3)+ $\frac{1}{x-3}$ +3 $\geq$ 2 $\sqrt{1}$ +3
$\therefore$ (x-3)+ $\frac{1}{x-3}$ +3 $\geq$ 5
当(x-3)= $\frac{1}{x-3}$ , y取得最值
解得 x=4或x=2(舍去)
$\because$ x>3
$\therefore$ 当且仅当x=4时, y取得最小值为5

三相等(就是说在A和B相等时，等号成立，即在A＝B时，A+B＝2√AB)

若0<x< $\frac{1}{2}$ , 求函数y=x(1-2x)的最大值
y=2x(1-2x)* $\frac{1}{2}$
根据 a+b $\geq$ 2 $\sqrt{ab}$
2x+(1-2x) $\geq$ 2 $\sqrt{2x(1-2x)}$
1 $\geq$ 2 $\sqrt{2x(1-2x)}$
2x(1-2x) $\leq$ $\frac{1}{4}$
2x(1-2x)* $\frac{1}{2}$ $\leq$ $\frac{1}{8}$
当2x=1-2x时, y取得最值
解得 x= $\frac{1}{4}$
当 x= $\frac{1}{4}$ 时, y取得最大值为 $\frac{1}{8}$

4.3二次函数与一元二次方程、不等式

我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式
ax²+bx+c >0 (a $\neq$ 0) 其中a,b,c均为常数

0,图形开口向上, a<0,图形开口向下
对称轴: – $\frac{b}{2a}$

常考类型
一.求解集(大于取两边, 小于取中间)

不等式 -6x²-x+2 $\leq$ 0的解集是:
两边同时乘-1得:
6x²+x-2 $\geq$ 0
(2x-1)(3x+2) $\geq$ 0
解得:当x为 $\frac{1}{2}$ 或x为- $\frac{2}{3}$ 时不等式为0
所以不等式的解集为(- $\infty$ ,- $\frac{2}{3}$ ] $\cup$ [ $\frac{1}{2}$ , + $\infty$ )

二.已知解集求范围

若不等式ax²+8ax+21 < 0 的解集是{x | -7< x < -1}, 求a的值
解:
当a=0时, 21<0, 不合理
当a>0时, 将x=-7和 x= -1分别代入不等式得
49a-56a+21=0
a-8a+21=0
解得 a=3
若不等式(a-2)x²+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实数a的取值范围
当a-2=0时, -4<0, x $\in$ R
当a-2>0时, 开口向上,肯定有y大于0的,不符合
当a-2<0时, 开口向下,并且与x轴没有交点
$\Delta$ < 0, 即4(a-2)²-4(a-2)(-4)<0
解得x= $\pm$ 2
$\because$ a-2<0
$\therefore$ a的取值范围是-2<a<2

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