波动方程 – 二阶偏导数

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波动方程 – 二阶偏导数

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二阶偏导数是指对一个函数进行两次偏导数运算。偏导数表示一个函数对某个变量的变化率，而二阶偏导数表示偏导数本身对该变量的变化率。
具体来说，如果有一个函数 $f(x,y)$，它对 $x$ 的二阶偏导数记作 $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$$，表示先对 $x$ 求偏导数，然后再对结果再求一次 $x$ 的偏导数。同理，对 $y$ 的二阶偏导数记作 $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$$。

具体例子

考虑一个简单的函数 $f(x,y)=x^{2}y+3x{y}^2$。

1. 首先求一阶偏导数：

• 对 $x$ 求偏导数：
  $$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+3y^2$$
• 对 $y$ 求偏导数：
  $$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+6xy$$

1. 然后求二阶偏导数：

• 对 $x$ 的二阶偏导数：
  $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}(2xy+3y^2)=2y$$
• 对 $y$ 的二阶偏导数：
  $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(x^2+6xy)=6x$$

Python实现

import sympy as sp # 定义变量 x, y = sp.symbols('x y') # 定义函数 f = x2 * y + 3 * x * y2 # 求一阶偏导数 df_dx = sp.diff(f, x) df_dy = sp.diff(f, y) # 求二阶偏导数 d2f_dx2 = sp.diff(df_dx, x) d2f_dy2 = sp.diff(df_dy, y) print(df_dx) print(df_dy) print(d2f_dx2) print(d2f_dy2) 

2*x*y + 3*y2 x2 + 6*x*y 2*y 6*x 

通过 Python 代码的计算结果验证，我们得到了以下导数：

• 对 $x$ 求一阶偏导数：
  $$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+3y^2$$
• 对 $y$ 求一阶偏导数：
  $$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+6xy$$
• 对 $x$ 的二阶偏导数：
  $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2y$$
• 对 $y$ 的二阶偏导数：
  $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=6x$$