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牛顿二项式定理
牛顿二项式定理就是用来求某个二项式的整数次幂的展开式的。
简单的二项式整数次幂
我们可以先从简单的情况开始，比如二项式 ( a + b ) (a+b) (a+b)的整数次幂：
( a + b ) 0 = 1 ( a + b ) 1 = a + b ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a+b)^0=1 \\ (a+b)^1=a+b \\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
这几个等式都比较简单，具体的展开过程就不赘述了。但是如果指数再往上增加，展开的难度就会急剧上升，比如当指数为4时：
( a + b ) 4 = ( a + b ) 3 ( a + b ) = ( a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ) ( a + b ) = a 4 + 3 a 3 b + 3 a 2 b 2 + a b 3 + a 3 b + 3 a 2 b 2 + 3 a b 3 + b 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 \begin{align*} (a+b)^4 & =(a+b)^3(a+b) \\ & = (a^3+3a^2b^+3ab^2+b^3)(a+b) \\ &= a^4 + 3 a^3b+3a^2b^2 + ab^3+a^3b+3a^2b^2+3ab^3+b^4 \\ & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{align*} (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b+3a2b2+ab3+a3b+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
展开的结果中的规律
但是好在这些结果都是有规律的，现在还不大能看出来，但是如果把上面4个等式这样写，就很清晰了：
( a + b ) 0 = a 0 b 0 ( a + b ) 1 = a 1 b 0 + a 0 b 1 ( a + b ) 2 = a 2 b 0 + 2 a 1 b 1 + a 0 b 2 ( a + b ) 3 = a 3 b 0 + 3 a 2 b 1 + 3 a 1 b 2 + a 0 b 3 ( a + b ) 4 = a 4 b 0 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 a 0 \begin{align*} (a+b)^0 &= a^0b^0 \\ (a+b)^1 & =a^1b^0+a^0b^1 \\ (a+b)^2&= a^2b^0+2a^1b^1+a^0b^2 \\ (a+b)^3 &= a^3b^0+3a^2b^1+3a^1b^2+a^0b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4b^0+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4a^0 \end{align*} (a+b)0(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4=a0b0=a1b0+a0b1=a2b0+2a1b1+a0b2=a3b0+3a2b1+3a1b2+a0b3=a4b0+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a0
结果中各项的指数
还不够清晰的话，我们把等式左边都去掉，把系数也都去掉：
a 0 b 0 a 1 b 0 + a 0 b 1 a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 a 3 b 0 + a 2 b 1 + a 1 b 2 + a 0 b 3 a 4 b 0 + a 3 b + a 2 b 2 + a b 3 + b 4 a 0 a^0b^0 \\ a^1b^0+a^0b^1 \\ a^2b^0+a^1b^1+a^0b^2 \\ a^3b^0+a^2b^1+a^1b^2+a^0b^3 \\ a^4b^0+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4a^0 a0b0a1b0+a0b1a2b0+a1b1+a0b2a3b0+a2b1+a1b2+a0b3a4b0+a3b+a2b2+ab3+b4a0
一个很经典的金字塔造型。一行一行来看的话，每一行的式子中：
- 都是 a a a和 b b b的不同指数幂的乘积的和
- a a a和 b b b的指数一个递增、一个递减
用统一的式子来表达就是：
∑ k = 0 n a n − k b k \sum_{k=0}^{n}a^{n-k}b^k k=0∑nan−kbk
其中 k k k和 n n n都是整数， k k k的范围为 [ 0 , n ] [0,n] [0,n]
结果中各项的系数
现在我们再单独来看之前被我们拿掉的系数：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ⋯ 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ \cdots 111121133114641⋯
这个金字塔大家应该很熟悉吧，这就是著名的杨辉三角，西方叫帕斯卡三角。
- 三角中的两个斜边和上顶点都是1；
- 其他的数是它头上的两个数的和
乍一看这个规律很难总结，但是如果把它们换成组合数的话:
C 0 0 C 1 0 C 1 1 C 2 0 C 2 1 C 2 2 C 3 0 C 3 1 C 3 2 C 3 3 C 4 0 C 4 1 C 4 2 C 4 3 C 4 4 ⋯ C_0^0 \\ C_1^0 \quad C_1^1 \\ C_2^0 \quad C_2^1 \quad C_2^2 \\ C_3^0 \quad C_3^1 \quad C_3^2 \quad C_3^3 \\ C_4^0 \quad C_4^1 \quad C_4^2 \quad C_4^3 \quad C_4^4 \\ \cdots C00C10C11C20C21C22C30C31C32C33C40C41C42C43C44⋯
关于组合数的计算可以参考本专栏的《【文科生能看懂的】排列组合》
这样一眼就能看出规律来了吧，用表达式总结就是:
C n k C_n^k Cnk
其中 k k k和 n n n都是整数， k k k的范围为 [ 0 , n ] [0,n] [0,n]
二项式定理
将上面找出的结果中各项的指数和系数的规律总结到一起，就成了二项式定理：
( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a n − k b k = C n 0 a n b 0 + C n 1 a n − 1 b 1 + ⋯ + C n n a 0 b n \begin{align*} (a+b)^n &= \sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k \\ &= C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+\cdots +C_n^na^0b^n \end{align*} (a+b)n=k=0∑nCnkan−kbk=Cn0anb0+Cn1an−1b1+⋯+Cnna0bn
也可以这样表示：
( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k = ( n 0 ) a n b 0 + ( n 1 ) a n − 1 b 1 + ⋯ + ( n n ) a 0 b n \begin{align*} (a+b)^n & = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}b^k \\ & ={n \choose 0}a^nb^0+ {n \choose 1}a^{n-1}b^1+\cdots +{n \choose n}a^0b^n \end{align*} (a+b)n=k=0∑n(kn)an−kbk=(0n)anb0+(1n)an−1b1+⋯+(nn)a0bn
其中， ( n k ) {n \choose k} (kn)称为二项式系数，等于组合数 C n k C_n^k Cnk。
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