7的整除特征 三位一截_能被7整除的数有什么特点

每天十分钟，数学很轻松！欢迎来到暖爸的数学碎碎念。大家好，我是爱数学的暖爸。今天要跟大家一起来研究一下能被7整除的数都有哪些特点。

我们还是从一个题目看起：

n✖7 所得的积的后四位为2020，n最小是多少，其中n为正整数。

这题应该怎么解算，大家可以自己先思考一下。

我们先来一起观察一下能被7整除的数，看看能不能发现什么特点：

首先2位数：

14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98

首先观察个位数，看看有没有什么规律可寻，从0到9这些数字全有，数字上没有特殊性。

会不会像能被3整除的数一样，个位+十位的和有特点呢？

你知道哪些数可以被3整除吗

我们试一试个位+十位数得到什么结果：

14, 1+4=5; 21, 2+1=3;28, 2+8=10;35, 3+5=8;42, 4+2=6;49, 4+9=13; 56, 5+6=11;63, 6+3=9;....

结果是5，3，10，8，6，13，11，9… 没有什么特点。

我们再来试试十位数-个位数能不能发现什么规律：

14, 1-4=-3;21, 2-1=1;28, 2-8=-6;35, 3-5=-2;42, 4-2=2;49, 4-9=-5;56, 5-6=-1;63, 6-3=3;70, 7-0=7;77, 7-7=0;84, 8-4=4;91, 9-1=;

这次得到的结果是：-3，1，-6，-2，2，-5，-1，3，7，0，4，8

除了负数比较多，表面上看还是没有什么特点。

如果我们拿这次得到的结果再减去个位数看一看：

14, 1-4=-3, -3-4=-7;21, 2-1=1, 1-1=0;28, 2-8=-6, -6-8=-14;35, 3-5=-2, -2-5=-7;42, 4-2=2, 2-2=0;49, 4-9=-5, -5-9=-14;56, 5-6=-1, -1-6=-7;63, 6-3=3, 3-3=0;70, 7-0=7, 7-0=7;77, 7-7=0, 0-7=-7;84, 8-4=4, 4-4=0;91, 9-1=8, 8-1=7;98, 9-8=1, 1-8=-7;

结果我们可以看出，这次得到的结果都是可以被7整除的数

我们先大胆推论一下： 

对于两位数来说，能被7整除的数的特点是，十位数-个位数-个位数，即十位数-2倍的个位数可以被7整除。

我们再来看看能被7整除的三位数有什么特点：

161=7×23，238=7×34，315=7×45，392=7×56， 469=7×67

我们用上面同样的方法试一下：

首先十位-2倍的个位：

161，6-1x2=4；238，3-8x2=-13；315，1-5x2=-9；392，9-2x2=5；469，6-9x2=-13；

似乎没有2位数的规律了，但是如果我们把百位和十位看成一个整体来看一下

161, 16-1x2=14=7x2;238, 23-8x2=7=7x1;315, 31-5x2=21=7x3;392, 39-2x2=35=7x5;469, 46-9x2=28=7x4;

这次得到的数，都可以被7整除。

于是我们根据2位数和3位数的特点，大胆的推测一个结论：

能被7整除的数符合下面的特点： 

把除了个位数的部分看成一个数，用这个数减去2倍的个位数所得的结果能被7整除，那么这个数一定能被7整除。如果所得的数不能被7整除，那么这个数不能被7整除。

下面我们来证明一下是不是这样的:

两位数的情况：

假设A, 为一个任意2位数, 个位数为n,十位数为m.

则A=10m+n，我们根据推测, 可以先分解出:m-2n

⇒A=10m+n

  =(9m+3n)+m-2n

  =(8m+5n)+m-2n+m-2n

  =(7m+7n)+m-2n+m-2n+m-2n

  =7(m+n)+3(m-2n)

可以看出7(m+n)可以被7整除。

于是知:3(m-2n)能被7整除是A能被7整除的充要条件。

由于3为质数，所以(m-2n)能被7整除是A能被7整除的充要条件。

即：m-2n若能被7整除，则A能被7整除，若m-2n不能被7整除，则A不能被7整除。

反之，若A能被7整除，则m-2n能被7整除，若A不能被7整除，则m-2n不能被7整除。

2位数符合我们的结论。

接下来我们推广到3位数：

假设A 为一个任意的3位数, 个位数为n,去掉个位数所得的数为m.

则同样A=10m+n，我们根据推测, 可以先分解出:m-2n

根据2位数时的推广结果得：

A=7(m+n)+3(m-2n)

于是3位数的结果与2位数相同。

我们再推广到任意的正整数：

假设A 为一个任意正整数, 个位数为n,去掉个位数所得的数为m.

同样A可以表示为：10m+n，

于是可以得到与2位数和3位数同样的结论。

最后我们得出结论：

判断一个数是能被7整除的充要条件是：

除去个位数所得到新的数-2倍的个位数能够被7整除。

我们看下面的例子：

判断下列哪些数是7的倍数：

A. 47376       B.   47048       C.  4720       D.  47240

选项A：去掉个位数所得数为4737-6×2=4725，得到的数是否能被7整除，还是看不出来，没事我们再继续把4725去掉个位数472-5×2=462，还是看不出来，再继续把462去掉个位数46-2×2=42=7×6，可以被7整除了，这说明A. 47376可以被7整除，事实上：47376=7×6768

选项B：47048去掉个位数为4704-8×2=4688，4688去掉个位数468-8×2=452，452去掉个位数为45-2×2=41，显然41不能被7整除，这说明B. 47048不能被7整除，事实上：47048➗7=6 721..

剩下的两个选项大家可以自己试一试。

现在我们回到文章开头的题目：

n✖7 所得的积的后四位为2020，n最小是多少，其中n为正整数

假设n✖7的积为A，m为A去掉2020所得的新数。这题就转换成了求最小的A是多少。因为A明显是7的倍数，根据上面的7的倍数的特点：我们把A表示为m2020，则去掉个位数m202-0x2=m202，继续去掉个位数：m20-2x2=m16m16去掉个位数m1-6x2,我们假设p=m-2可以推出：m1-6x2=p9由于A能被7整除，所以p9能被7整除。可以得出p9的最小值为49，即p的最小值为4，从而的到m的最小值为6，即A的最小值为62020=8860x7，从而得到最小的n为8860.

好了，今天关于能被7整除的数的特点就分享到这里，如果大家有什么疑问欢迎留言讨论。