完全数（亏数、盈数）、三角形数、棱锥体数、正方形数

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• 所有的完全数都是三角形数；

1. 完全数与亏数、盈数

1.1 完全数

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。各个小于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。

• 6 = 1+2+3
• 28 =1+2+4+7+14
• 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
• 8128

1.2 亏数

对于“4”这个数，它的真约数有1、2，其和是3，比4本身小，像这样的自然数叫做亏数。

1.3 盈数

对于“12”这个数，它的真约数有1、2、3、4、6，其和是16，比12本身大，像这样的自然数叫做盈数。所以，完全数就是既不盈余，也不亏欠的自然数。

二、 三角形数

古希腊著名科学家毕达哥拉斯派把数 1，3，6，10，15，21……这些数量的（石子），都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数把1.4.9.16.…这样的数称为正方形数。

显然三角形数的规律是：

$$S_n=1+2+\cdots+n=\frac{n\left(n+1\right)}2=\binom{n+1}2$$

• 6 = 1+2+3
• 28=1+2+3+4+5+6+7
• 496=1+2+3+$\cdots$+31
• 8128=1+2+3+$\cdots$+127

三、棱锥体数

棱锥体数（每一层都是三角形数）：

• 1 = 1
• 1+(1+2) = 4
• 1+(1+2)+(1+2+3) = 10
• 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) = 20
• 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35
• $\binom{k+2}{3!}$

四、正方形数与立方体数

• 1
• $2^2$
• $3^2$
• $4^2$

• 1
• $2^3$
• $3^3$
• $4^3$