微分线性主部_全微分的几何意义

先说一下一元函数的微分的几何意义，再引出二元函数全微分的几何意义

1 一元函数的微分

设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) – f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o为希腊字母，非英文字母o）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

A即切线的斜率

2 二元函数的全微分

2.1 全增量

为了引进全微分的定义，先来介绍全增量。

设二元函数z = f (x, y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，当变量x，y在点(x,y)处分别有增量Δx，Δy时，函数z取得增量：△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)，△z即为f（x，y）在（x，y）处的全增量

2.2 全微分

如果2.1中的全增量可以表示为△z=A△x+B△y+o（

），其中A,B仅于x，y有关，不依赖于△x和△y，

=（（△x）2+(△y)2）（1/2）。则称函数z=f（x，y）在（x，y）处可微分。A△x+B△y称为函数z=f（x，y）在（x，y）处的全微分，记作dz。

即全微分dz=A△x+B△y

2.3 全微分的几何意义

z=f（x，y），M（x0，y0，z0）,N（x0+△x，y0+△y，z0+△z）

由图可知|AN|=△z，根据切平面的定义（在一定条件下，过曲面上的某一点M有无数条曲线，每一条曲线在点M处都有一条切线，在一定条件下这些切线位于同一平面内，称这个平面为曲面在点M处的切平面），可以由两条切线求出过M点的切平面的法向量再求出切平面的方程。两条切线的方程分别为：（x-x0）/1=（y-y0）/0=（z-z0）/（

z/

x）

（x-x0）/0=（y-y0）/1=（z-z0）/（

z/

y）。由两条切线的方向向量（1，0，

z/

x）和（0，1，

z/

y)的叉乘可得切平面的法向量n=（

z/

x，

z/

y，-1）

故z=f（x，y）在点（x，y）处的切平面可用点法式方程表示为：（

z/

x）（x-x0） +（

z/

y）（y-y0）-（z-z0）=0。故dz=（

z/

x）（x-x0） +（

z/

y）（y-y0）=z-z0

由图可知：dz=z-z0即为|AB|的长度，故△z=dz+|BN|（|BN|=o（

））。

综上所述，全微分的几何意义即为函数在点（x0，y0，z0）处的切平面上的点（x0+△x，y0+△y，z0+dz）的z轴坐标与z=f（x，y）上点（x0，y0，z0）的z轴坐标之差