【集合论】集合恒等式 ( 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配率 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 余补律 | 双重否定定律 | 补交转换律 )

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一、 集合恒等式

1. 幂等律 : $A\cup A=A$ , $A\cap A=A$

2. 交换律 : $A\cup B=B\cup A$ , $A\cap B=B\cap A$

3. 结合律 : $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ , $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

4. 分配率 : $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ , $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

5. 德摩根律 :

① 绝对形式 : $\sim (A\cup B)=\sim A\cap \sim B$ , $\sim (A\cap B)=\sim A\cup \sim B$

② 相对形式 : $A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)$ , $A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)$

6. 吸收率 : $A\cup (A\cap B)=A$ , $A\cap (A\cup B)=A$

7. 零律 : $A\cup E=E$ , $A\cap \varnothing =\varnothing$

8. 同一律 : $A\cup \varnothing =A$ , $A\cap E=A$

( 空集是并运算的单位元 , 全集是交运算的单位元 )

9. 排中律 : $A\cup \sim A=E$

10. 矛盾律 : $A\cap \sim A=\varnothing$

11. 余补律 : $\sim \varnothing =E$ , $\sim E=\varnothing$

12. 双重否定定律 : $\sim (\sim A)=A$

13. 补交转换律 : $A-B=A\cap \sim B$

( 集合的差运算是不必要的 , 集合的交运算和补运算可以替代差运算 )

二、 集合恒等式推广到集族

{ A α } α ∈ S \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} {
Aα​}α∈S​ 为集族 , $S$ 是指标集 , $\alpha$ 是指标集中的元素 , 对于 $S$ 集合中的 $\alpha$ 元素 , 都有一个集合 $A_{\alpha }$ 与之对应 ; 所有的 $A_{\alpha }$ 集合放在一起 , 形成一个集族 ;

$B$ 是任意的一个集合 ;

1 . 分配律

分配律 ① :

B ∪ ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( B ∪ A α ) B \cup ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B \cup A_\alpha ) B∪(⋂{
Aα​}α∈S​)=α∈S⋂​(B∪Aα​)

集族中每个集合元素求交 , 然后与 $B$ 进行并运算 ; 等价于 集族中每个元素与 $B$ 求并 , 然后在求上述每个并运算结果的交 ;

分配律 ② :

B ∩ ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( B ∩ A α ) B \cap ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B \cap A_\alpha ) B∩(⋃{
Aα​}α∈S​)=α∈S⋃​(B∩Aα​)

集族中每个集合元素求并 , 然后与 $B$ 进行交运算 ; 等价于 集族中每个元素与 $B$ 求交 , 然后在求上述每个并运算结果的并 ;

2 . 德摩根律

德摩根律 ( 绝对形式 ) ① :

∼ ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( ∼ A α ) \sim ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha ) ∼(⋃{
Aα​}α∈S​)=α∈S⋂​(∼Aα​)

集族的广义并 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义交 ;

德摩根律 ( 绝对形式 ) ② :

∼ ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( ∼ A α ) \sim ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha ) ∼(⋂{
Aα​}α∈S​)=α∈S⋃​(∼Aα​)

集族的广义交 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义并 ;

德摩根律 ( 相对形式 ) ③ :

B − ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( B − A α ) B – ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B – A_\alpha ) B−(⋃{
Aα​}α∈S​)=α∈S⋂​(B−Aα​)

$B$ 集合减去 集族的广义并 ( 集族广义并 相对于 集合 $B$ 的补集 ) ; 等于 $B$ 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义交 ;

德摩根律 ( 相对形式 ) ④ :

B − ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( B − A α ) B – ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B – A_\alpha ) B−(⋂{
Aα​}α∈S​)=α∈S⋃​(B−Aα​)

$B$ 集合减去 集族的广义交 ( 集族广义交 相对于 集合 $B$ 的补集 ) ; 等于 $B$ 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义并 ;