数学建模方法 — 【01】模糊数学

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模糊数学

概念

现象的划分:

处理现实对象的数学模型可分为三大类：

那什么是模糊数学呢？

模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线
模糊概念导致模糊现象
模糊数学——研究和揭示模糊现象的定量处理方法

    经典数学是以精确性为特征的， 然而， 与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值 的, 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好

用属于程度代替属于或不属于
例:
某个人属于秃子的程度为0.8，另一个人属于秃子的程度为0.3

模糊集合

设X是论域:
    A：X→ [0,1]，则称A是X上的模糊集
    ∀x∈X，A(x)∈[0,1]，A(x)称为x属于A的隶属度
    X上全体模糊集集合记为F(X)，即F(X)={A|A:X→[0,1]}
    A(x)=1，x完全属于A
    A(x)=0，x完全不属于A
    0<A(x)<1，x部分属于A
    x变化时，A(x)称为隶属函数

当映射A(x)只能取0或1时，模糊集A就是经典集，而A(x)就是它的特征函数，可见经典集就是模糊集的特殊情形。
例:

模糊关系（Fuzzy relation）

X $\times$ Y上的模糊集R称为从X到Y上的模糊关系
(𝑥,𝑦)→𝑅(𝑥,𝑦)∈[0,1]表示𝑥,𝑦具有关系𝑅的程度
X=Y时，R称为X上的模糊关系
例:

G(x,y)表示x远远大于y的程度
x=20,y=18时，x远远大于y的程度为0.038
x=20,y=10时，x远远大于y的程度为0.5
x=1000,y=100时，x远远大于y的程度为0.9999

模糊矩阵

有限论域上的模糊关系

X、Y均有限，一般用矩阵表示
对于有限论域 X = {x₁, x₂, … , x_n}和Y = { y₁, y₂, … , y_n}，则X到Y模糊关系R可用n ×m阶模糊矩阵表示，即
$$\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& ...& r_{1m}\\ r_{21}& r_{22}& ...& r_{2m}\\ ...& ...& ...& ...\\ r_{n1}& r_{n2}& ...& r_{nm}\end{array}\right],$$
其中r_ij ∈[0, 1]表示x_i 与y_j 具有模糊关系R的程度
例: