最大公因数和最小公倍数

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2022.6.10

一、最大公因数(gcd)：

否则，a=b*q+r

理论： gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明： a=b*k+c c=a%b 设d为gcd(a,b) 则d|a,d|b c=a-b*k c/d=a/d-b/d*k 因为c/d为整数 即d/c为a,b的公约数 反过来证明： d|b d|(a%b) (a%b)/d=a/d+b/d*k (a%b)/d+b/d*k=a/d a/d为整 即d|a 得到： b,a%b 为 a,b 的公约数 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

代码实现：

int gcd(int a,int b){ if(!b)return a; return gcd(b,a%b); }

2、多个数：

采用归纳法

int gcd(int a,int b){ if(!b)return a; return gcd(b,a%b); } int main(){ int n,ans,x; cin >>n>>ans; for(int i=2;i<=n;i++){ cin >>x; ans=gcd(ans,x); } cout <<ans; return 0; }

二、最小公倍数：

1、两个数

设：

则：

且：

可以发现：

代码：

int gcd(int a,int b){ if(!b)return a; return gcd(b,a%b); } int lcm(int a,int b){ int cnt=a*b; return cnt/gcd(a,b); } int main(){ int a,b; cout <<lcm(a,b); return 0; }

2、多个数：

也是归纳法

int gcd(int a,int b){ if(!b)return a; return gcd(b,a%b); } int lcm(int a,int b){ int cnt=a*b; return cnt/gcd(a,b); } int main(){ int n,x,ans=1; for(int i=1;i<=n;i++){ cin >>x; ans=lcm(ans,x); } cout <<ans; return 0; }

三、真题演练（洛谷 P2118 [NOIP2014 普及组] 比例简化）：

题目描述：

在社交媒体上，经常会看到针对某一个观点同意与否的民意调查以及结果。例如，对某一观点表示支持的有 人，反对的有 人，那么赞同与反对的比例可以简单的记为1498::902。

不过，如果把调查结果就以这种方式呈现出来，大多数人肯定不会满意。因为这个比例的数值太大，难以一眼看出它们的关系。对于上面这个例子，如果把比例记为5:35:3，虽然与真实结果有一定的误差，但依然能够较为准确地反映调查结果，同时也显得比较直观。

现给出支持人数A，反对人数B，以及一个上限L，请你将A比B化简为A’比B’，要求在A’和B’均不大于L且A’和B’互质（两个整数的最大公约数是1）的前提下，A’/B’≥ A/B且A’/B’- A/B的值尽可能小。

(本题目为2014NOIP普及T2)

输入格式：

共一行，包含三个整数A,B,LA,B,L，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示支持人数、反对人数以及上限。

输出格式：

共一行，包含两个整数AA’，BB’，中间用一个空格隔开，表示化简后的比例。

输入样例：

1498 902 10

输出样例：

5 3

说明、提示：

对于100%的数据，1 ≤ A ≤ 1,000,000,1 ≤ B ≤ 1,000,000,1 ≤ L ≤ 100,A/B ≤ L。

思路：

由于L ≤ 100，所以我们可以直接枚举a，b。

根据十字交叉法 a/b=c/d 则 a*d=b*c因为（A’/B’≥ A/B且A’/B’−A/B的值尽可能小）

代码：

#include <iostream> #include <algorithm> #include <iomanip> #include <cstring> #include <fstream> #include <sstream> #include <vector> #include <string> #include <cstdio> #include <cmath> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <list> #include <map> #define int long long using namespace std; const int N = 1e5 + 10; const int INF = 0x3f3f3f3f; const int mod = ; int l,a,b,x=200,y=1; int gcd(int a,int b){ if(!b)return a; return gcd(b,a%b); } signed main(){ cin >>a>>b>>l; for(int i=1;i<=l;i++){ for(int j=1;j<=l;j++){ if(gcd(i,j)==1&&i*b>=j*a&&i*y<j*x){ x=i;y=j; } } } cout <<x<<" "<<y; return 0; }