高斯消元法解线性方程组

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高斯消元法解线性方程组

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DeepSORT（目标跟踪算法）中的解三角方程计算标准化残差（解线性方程组）和《DeepSORT（目标跟踪算法）中的计算观测值与状态估计的马氏距离》有解方程组的做法，这里举个例子

高斯消元法（Gaussian Elimination）

高斯消元法是一种用于解线性方程组的直接方法。该方法通过一系列的行变换将方程组的系数矩阵化为上三角矩阵，然后通过回代法求解变量的值。下面我们详细讲解这一过程。

高斯消元法的步骤

1. 构建增广矩阵：
   将线性方程组的系数矩阵和常数项合并成增广矩阵。
2. 行变换：
   通过初等行变换，将增广矩阵化为上三角矩阵。
3. 上三角矩阵形式：
   消元过程的目标是将矩阵化为上三角形式，即矩阵的下三角部分（主对角线以下的元素）全为零。
4. 回代求解：
   从上三角矩阵的最后一行开始，通过回代方法，从下往上依次求解每一个变量的值。

举例说明

给定线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}2x+3y-z=1\\ 4x+4y-3z=3\\ 2x-3y+2z=1\end{array}$$
我们将方程组写成增广矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 1\\ 4& 4& -3& 3\\ 2& -3& 2& 1\end{array}\right]$$

第一步：消元过程

对第二行进行操作：

我们将第二行减去第一行的两倍，以消去第二行的第一个元素：
$$\text{第一行的两倍：}2\times \left[\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}4& 6& -2& 2\end{array}\right]$$

$$\text{第二行减去第一行的两倍：}\left[\begin{array}{cccc}4& 4& -3& 3\end{array}\right]$$
$$-\left[\begin{array}{cccc}4& 6& -2& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& -2& -1& 1\end{array}\right]$$
所以，矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 1\\ 0& -2& -1& 1\\ 2& -3& 2& 1\end{array}\right]$$
对第三行进行操作：

我们将第三行减去第一行，以消去第三行的第一个元素：

$$\text{第三行减去第一行：}\left[\begin{array}{cccc}2& -3& 2& 1\end{array}\right]$$
$$-\left[\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& -6& 3& 0\end{array}\right]$$

所以，矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 1\\ 0& -2& -1& 1\\ 0& -6& 3& 0\end{array}\right]$$

第二步：对第二行进行操作

将第二行乘以 -1/2 以便使第二行的第二个元素变成 1：
$$-\frac{1}{2}\times \left[\begin{array}{cccc}0& -2& -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0.5& -0.5\end{array}\right]$$
所以，矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 1\\ 0& 1& 0.5& -0.5\\ 0& -6& 3& 0\end{array}\right]$$
对第三行进行操作：

我们将第三行加上第二行的六倍，以消去第三行的第二个元素：
$$\text{第二行的六倍：}6\times \left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0.5& -0.5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 6& 3& -3\end{array}\right]$$
$$\text{第三行加上第二行的六倍：}\left[\begin{array}{cccc}0& -6& 3& 0\end{array}\right]$$
$$+\left[\begin{array}{cccc}0& 6& 3& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 6& -3\end{array}\right]$$
所以，矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 1\\ 0& 1& 0.5& -0.5\\ 0& 0& 6& -3\end{array}\right]$$

第三步：对第三行进行操作

我们将第三行除以 6 以便使第三行的第三个元素变成 1：
$$\frac{1}{6}\times \left[\begin{array}{cccc}0& 0& 6& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& -0.5\end{array}\right]$$
所以，矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& -1& 1\\ 0& 1& 0.5& -0.5\\ 0& 0& 1& -0.5\end{array}\right]$$

回代求解

从第三行开始：
$$z=-0.5$$
将 $z=-0.5$ 代入第二行：
$$y+0.5z=-0.5⟹y+0.5(-0.5)=-0.5⟹y-0.25=-0.5⟹y=-0.25$$
将 $y=-0.25$ 和 $z=-0.5$ 代入第一行：
$$2x+3y-z=1⟹2x+3(-0.25)-(-0.5)=1⟹2x-0.75+0.5=1⟹2x-0.25=1⟹2x=1.25⟹x=0.625$$
所以，解这个方程组得到的结果是：
$$x=0.625,y=-0.25,z=-0.5$$

Python验证

import numpy as np # 系数矩阵 A = np.array([ [2, 3, -1], [4, 4, -3], [2, -3, 2] ]) # 常数项 B = np.array([1, 3, 1]) # 求解线性方程组 solution = np.linalg.solve(A, B) print("x, y, z 的解为:", solution) 

结果

x, y, z 的解为: [ 0.625 -0.25 -0.5 ]