4个基本不等式的函数证明

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#高中数学一定会将到一个重要的不等式链：
$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$
两两证明起来不难，只需要平方，凑成完全平方公式，但实际上，上面四个结构可以用一个函数表现出来：
$$f(x)=\frac{a^{1+x}+b^{1+x}}{a^x+b^x}$$ 其中a、b都是大于0的常数。
也就是上面这个函数可以一下子证明完上面的不等式链。
在此之前，我们需要考虑函数$f(x)$的单调性，我们直接求导试试：
$$f^{\prime }(x)=\frac{(a^{1+x}lna+b^{1+x}lnb)(a^x+b^x)-(a^{1+x}+b^{1+x})(a^{x}lna+b^{x}lnb))}{(a^x+b^x{)}^2}$$
$$=\frac{a^{1+x}{b}^{x}lna-a^x{b}^{1+x}lna+a^x{b}^{1+x}lnb-a^{1+x}{b}^{x}lnb}{(a^x+b^x{)}^2}$$
$$=\frac{lna\cdot a^x{b}^x(a-b)+lnb\cdot a^x{b}^x(b-a)}{(a^x+b^x{)}^2}$$
$$=\frac{a^x{b}^x(a-b)(lna-lnb)}{(a^x+b^x{)}^2}\ge 0$$
显然$f(x)$是一个单增函数。要是还没学导数也可以根据如下判断：
$$f(x)=\frac{a^{x+1}(1+{\frac{b}{a}}^{x+1})}{a^x(1+{\frac{b}{a}}^x)}$$
令$t=\frac{b}{a}$
$$f(x)=\frac{a(1+t^x)}{1+t^{x+1}}=a(t+\frac{1-t}{1+t^x})$$
当$t$大于1时，$1-t\le 0$，$\frac{1}{1+t^x}$为减函数，因此$f(x)$为增函数，当$t\le 1$时类似。
于是有：
$$f(1)\ge f(0)\ge f(-\frac{1}{2}\ge f(-1)$$ 当且仅当$a=b$时取等号
$$证毕$$

其中
$$f(1)=\frac{a^2+b^2}{a+b}$$
$$f(0)=\frac{a+b}{2}$$
$$f(-\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}}=\sqrt{ab}$$
$$f(-1)=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$