高数 学习 笔记

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定积分

定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数在某个区间上的累积效应或面积。

定义

定积分

表示函数 f(x)在区间 [a,b]上的累积效应或面积。定积分的定义可以通过以下步骤来理解：

1. 分割区间：

将区间 [a,b]分割成 n 个小区间，每个小区间的长度为 Δxi，其中

，且 x0=a，xn=b。

2. 取样本点：

在每个小区间

内取一个样本点 ξi。

3. 构造黎曼和：

构造黎曼和

，表示函数 f(x) 在区间 [a,b]上的近似累积效应或面积。

4. 取极限：

当分割的区间数 n 趋向于无穷大，且每个小区间的长度 Δxi趋向于零时，黎曼和的极限即为定积分：

说明：

黎曼和是通过将区间 [a,b]分成 n 个等宽的子区间，每个子区间的宽度为

，

然后选择每个子区间内的一点 xi，计算矩形的面积之和来近似积分的。

黎曼和可以表示为：

其中：

Sn是黎曼和的值。

n是子区间的数量。

xi是第 i个子区间 [xi−1,xi]内的一点。Δx是每个子区间的宽度。

几何意义

定积分

的几何意义是函数 f(x) 在区间 [a,b]上的曲线下面积。具体来说：

如果 f(x)≥0，则定积分表示曲线下方的面积。

如果 f(x)≤0，则定积分表示曲线上方的面积的负值。

性质

定积分具有以下重要性质：

1. 线性性质：

其中 c 和 d 是常数。

2. 区间可加性：

其中 a≤c≤b。

3. 积分上下限交换：

4. 定积分中值定理

如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则存在 c∈[a,b]，使得：

证明：

设f(x)在[a,b]上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为M，最小值为m，最大

值和最小值可相等。

对

两边同时积分可得：

同除以b-a从而得到：

由连续函数的介值定理可知，必定

，使得

，即：

微积分基本公式

牛顿-莱布尼茨公式

微积分基本定理 

微积分基本定理分为两部分，分别描述了积分上限函数的性质和定积分的基本公式。

第一部分（Part 1）

如果 f(t) 在区间 [a,b]上连续，则积分上限函数

在区间 [a,b] 上可导，并且其导数为：

第一基本定理表明不定积分是微分的逆运算，保证了某连续函数的原函数的存在性。

第二部分（Part 2）

如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F′(x)=f(x)，则：

第二基本定理则提供了定积分和不定积分之间的联系，使得定积分的计算变得简便。  

定积分换元法

步骤

1. 选择合适的变量替换：

选择一个合适的变量替换 t=g(x)，使得积分变得更简单，并求反函数：

2. 求导数：

对 x 的导数

3. 替换积分变量：

将原积分中的 x 替换为 t，并将 dx 替换为

4. 确定新的积分上下限：

将原积分的上下限 a 和 b 替换为新的上下限 t 的值。即 t 的下限为 t1，上限为 t2。

5. 求解新积分：

求解新的定积分

多元函数

二元极限

定义

设函数 f(x,y) 在点 (a,b) 的某个去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在正数 δ，使得当

时，总有：

∣f(x,y)−L∣<ϵ

则称 L 为函数 f(x,y)在点 (a,b)处的极限，记作：

几何意义

当点 (x,y)从任意方式趋近于点 (a,b) 时，函数 f(x,y) 的值趋近于 L。换句话说，函数图像在二维平面的点

(a,b)附近趋近于一个三维立体平面上的点 (a,b,L)。可将(a,b)想象为(a,b,L)投影在二维平面的点。

如果 (x,y)从不同方式趋近于点 (a,b)，函数 f(x,y) 的值不相等，则表示 f(x,y) 不存在。

偏导数

偏导数是多元函数求导的一种形式，表示在多个自变量中，当其中一个自变量改变而其他自变量保持不

变时函数值的变化率。

这实质上是将其他自变量视为常数，然后按照单变量函数求导的方法进行运算。

定义

设函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 的某个邻域内有定义。如果极限：

存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 (x0,y0) 处对 x 的偏导数，记作：

类似地，如果极限：

存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数，记作：

偏导数的计算方法

对于二元函数z=f(x,y)，求z对x的偏导数时，将y看作常量，对x求导；求z对y的偏导数时，将x看作常

量，对y求导。

全微分

定义

如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全增量

可以表示为

，

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x, y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)²+(Δy)²])，此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)

处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy。

可微的必要条件条件

若z=f(x,y)在(x,y)点处可微，则偏导数

存在，

并且

可微的充分条件

z=f(x,y)在(x,y)的某个邻域内有连续的偏导数

则在(x,y)处可微

最终得到：

梯度

梯度是一个向量，表示多元函数在某一点处的最大变化率和变化方向。

定义

设 f(x1,x2,…,xn)是一个定义在 Rn(n维欧几里得空间) 上的多元函数，函数 f在n维向量点 a=(a1,a2,…,an)

处的梯度定义为：

其中，

是函数 f 在点 a 处对第 i 个自变量的偏导数。

性质

1. 最大变化率：梯度 ∇f(a) 的方向是函数 f在点 a 处变化率最大的方向。

2. 变化率：梯度 ∇f(a) 的大小（模）是函数 f 在点 a 处沿梯度方向的变化率。

沿梯度方向是是函数 f在点 a 处变化率增加最大的方向；沿梯度反方向是是函数 f在点 a 处变化率减小最大的方向；沿梯度垂直方向函数 f在点 a 处变化率为0。

梯度下降

梯度下降是一种优化算法，用于寻找多元函数的最小值。其基本思想是沿着函数的负梯度方向逐步更新参数，以减少函数值。

算法步骤

1. 初始化：选择一个初始点 x0。

2. 迭代更新：对于每次迭代 k，计算当前点的梯度

，

并更新参数：

其中，η 是学习率（步长），控制每次更新的步幅。

3. 终止条件：当梯度的模足够小或达到预设的迭代次数时，停止迭代。通常，终止条件可以是以下几种：

1. 梯度的模足够小：当梯度的模（或范数）

小于某个阈值时，停止迭代。

说明：

梯度的范数表示梯度向量的大小，即梯度向量的长度。

梯度的范数（模） ∥∇f(xk)∥是这个向量的欧几里得长度，定义为：

2. 达到预设的迭代次数：当迭代次数达到预设的最大迭代次数时，停止迭代。

3. 函数值变化足够小：当函数值的变化

小于某个阈值时，停止迭代。

学习率

学习率 η是一个重要的超参数，控制着每次更新的步幅。选择合适的学习率对于梯度下降算法的性能至关重要：

学习率过大：如果步幅过大，算法可能会“跳过”最优解，导致在最优解附近来回震荡。

学习率过小：可能导致算法收敛速度过慢。

二重积分

二重积分是多元微积分中的一个重要概念，用于计算二维区域上的函数积分。它通常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。二重积分的基本思想是将一个二维区域分割成无数个小区域，然后在每个小区域上计算函数值的积分。

定义

设 f(x,y)f(x,y) 是定义在平面区域 D 上的函数，二重积分记作：

其中 dA表示面积元素。

几何意义

如果 f(x,y)是非负函数，二重积分

表示以 D 为底、以 f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。

二重积分的计算步骤-直角坐标系

在直角坐标系下，二重积分可以表示为两个定积分的乘积：

其中 D 是由 x=a 到 x=b 以及 y=g(x)到 y=h(x) 围成的区域。

1. 确定积分区域 D：首先，你需要确定积分区域 D的边界。这个区域可以是矩形、圆形、多边形等。

2. 设置积分限：根据积分区域 D，设置积分的限。例如，对于直角坐标系中的矩形区域，积分限通常

是 a≤x≤b 和 c≤y≤d。

3. 写出积分表达式：根据积分限写出二重积分的表达式：

4. 计算内层积分：先对 y 进行积分，得到关于 x 的表达式。

5. 计算外层积分：再对 x 进行积分，得到最终的积分值。

二重积分的计算步骤-极坐标系

极坐标系的二重积分计算步骤同直角坐标系，不同的是需要将直角坐标系的坐标转换为极坐标。

极坐标系的基本概念

原点：极坐标系的原点称为极点（通常记作 O）。

极径：从极点到某一点的距离称为径向距离（通常记作 r）。

极角：从极点到某一点的射线与极轴（通常是正 xx 轴）之间的角度称为极角（通常记作 θ）。

给定点的极坐标 (r,θ)，可以转换为直角坐标 (x,y)：

在极坐标下，二重积分的表达式为：

其中 r 和 θ 分别是极径和极角。

注意：转换为极坐标系的二重积分中需要多加一个r ，这个最容易忘记。