三角函数及其常用公式

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基本信息

常用三角函数

正弦：sine（简写sin）[sain]
sinα = b/c
余弦：cosine（简写cos）[kəusain]
cosα = a/c
正切：tangent（简写tan）[‘tændʒənt]
tanα =a/b
余切：cotangent（简写cot）[‘kəu’tændʒənt]
cotα =b/a
正割：secant（简写sec）[‘si:kənt]
secα = c/a
余割：cosecant（简写csc）[‘kau’si:kənt]
csc = c/b
直角三角函数 （∠α是锐角）

三角函数关系

tanα ·cotα=1　　
sinα ·cscα=1　　
cosα ·secα=1
sinα/cosα=tanα
sin²α+cos²α=1

特殊值

重要定理

正弦定理：

在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
其中，R为△ABC的外接圆的半径。
推导：

如上图三角形△ABC，做辅助线CD垂直于AB，则CD长度为bsinA = asinB,所以a/sinA = b/sinB；同理可证：a/sinA = c/sinC，所以a / sin A = b / sin B = c / sin C

如上图做三角形△ABC的外切圆，其圆心为点O，连接CO并延长，交外切圆于点E，连接AE，根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得:∠CAE=90°，∠E=∠B，所以sinB = sinE = b/2R，所以b/sinB = 2R，所以a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

余弦定理：

余弦定理：在△ABC中，c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cosC。
其中，C为边a与边b的夹角。
推导：

如上图三角形△ABC，做辅助线CD垂直于AB，
则c = b cosA + a cosB，同时乘以c得：c^2 = bc cosA + ac cosB
同样：b = c cosA + a cosC，a = b cosC + c cosB，
b^2 = bc cosA + ab cosC，a^2 =ab cosC + ac cosB，
所以：a^2 + b^2 = c^2 + 2ab cosC
所以：c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cosC

常用公式

三角函数的诱导公式（六公式）

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(α+k2π)=sinα （k为整数）
cos(α+k2π)=cosα（k为整数）
tan(α+k*2π)=tanα（k为整数）

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin[(2k+1)π+α]=-sinα
cos[(2k+1)π+α]=-cosα
tan[(2k+1)π+α]=tanα
cot[(2k+1)π+α]=cotα

公式三

任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(2kπ-α)=-sinα
cos(2kπ-α)=cosα
tan(2kπ-α)=-tanα
cot(2kπ-α)=-cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin[(2k+1)π-α]=sinα
cos[(2k+1)π-α]=-cosα
tan[(2k+1)π-α]=-tanα
cot[(2k+1)π-α]=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2kπ-α)=-sinα
cos(2kπ-α)=cosα
tan(2kπ-α)=-tanα
cot(2kπ-α)=-cotα

公式六:

π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。
或者也可以这样记：分变整不变，符号看象限。

积化和差的四个公式

sinαcosβ = （sin(α+β)+ sin(α-β) )/2
cosαsinβ = （sin(α+β)- sin(α-β) )/2
cosαcosβ = （cos(α+β)+ cos(α-β) )/2
sinαsinβ = -（cos(α+β)- cos(α-β) )/2
推导：

如图，ABDF为矩形，∠ACE为90°，∠CAE角度为α，∠BAC角度为β，
则∠AEF角度为α+β，∠DCE角度为β，
设AE=1，
则 AF=sin(α+β)，CE=sinα，AC=cosα，CD=sinαcosβ，BC=cosαsinβ，EF= cos(α+β)，DE= sinαsinβ，AB= cosαcosβ
由AF=BD知：sin(α+β)= sinαcosβ+ cosαsinβ
由AB=DF知，cos(α+β)= cosαcosβ- sinαsinβ
所以：
sin(α-β)= sinαcosβ- cosαsinβ
cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ
所以：
sinαcosβ = （sin(α+β)+ sin(α-β) )/2
cosαsinβ = （sin(α+β)- sin(α-β) )/2
cosαcosβ = （cos(α+β)+ cos(α-β) )/2
sinαsinβ = -（cos(α+β)- cos(α-β) )/2

如下图

和差化积的四个公式：

sin a + sin b = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin a – sin b = 2 cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos a + cos b = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin a + sin b = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
推导：
和差化积公式可有积化和差公式推出，设α+β=a，α-β=b，则
α=(a-b)/2，β=(a-b)/2
所以:
sin a = sin(α+β)=sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) + cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
sin b = sin(α-β)= sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) – cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos a = cos(α+β)=cos((a+b)/2) cos((a-b)/2) – sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos b = cos(α-β)=cos((a+b)/2) cos((a-b)/2) + sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
所以：
sin a + sin b = 2sin((a+b)/2)cos((a+b)/2)
sin a – sin b = 2 cos((a+b)/2)sin((a+b)/2)
cos a + cos b = 2cos((a+b)/2)cos((a+b)/2)
sin a + sin b = -2sin((a+b)/2) sin((a+b)/2)

三角和公式

sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ）
（α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ）

特殊公式

（sina+sinθ）（sina-sinθ）=sin（a+θ）sin（a-θ）
证明：（sina+sinθ）（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2]
=sin（a+θ）sin（a-θ）

坡度公式

我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，
即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.

辅助角公式

注：该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等
asin α+bcos α=√(a^2 +b^2)sin(α+φ)，其中tan φ=b/a
asinA+bcosB=根号下a方+b方×（根号下a方+b方分之a×sinA+根号下a方+b方分之b×cosB) 令根号下a方+b方分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方×sin(A+C)

双曲函数

sh a = [e^a- e^(-a)]/2
ch a = [e^a+ e^(-a)]/2
th a = sin h(a)/cos h(a)

反三角函数公式

arcsin(-x)= -arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)= -arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2