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对于 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0可以有一个函数关系： y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)则称 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0确定了一个隐函数。
也可写作 F ( x , f ( x ) ) = 0 F(x,f(x))=0 F(x,f(x))=0
就是说只要有函数关系就行，能不能具体写出表达式没有考虑。
隐函数存在定理（充分条件）：
- F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)在区域上连续
- F y ( x , y ) F_y(x,y) Fy(x,y)连续
- F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_y(x_0,y_0)\not=0 Fy(x0,y0)=0
- F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x_0,y_0)=0 F(x0,y0)=0
那么F(x,y)=0确定了一个隐函数，且隐函数连续。
简单记为 F F F连续且等于0, F y F_y Fy连续且不等于0.
F y F_y Fy是 F F F对于y的偏导数。
如果增加两个条件
- F x ( x , y ) F_x(x,y) Fx(x,y)连续
- F x ( x , y ) F_x(x,y) Fx(x,y)不等于0，
那么隐函数就是唯一的
注意隐函数是在D上，D包含初始点
隐函数可微性定理：
- 隐函数存在(初始值等于0， F y F_y Fy连续且不等于0， F F F也连续)，
- F x F_x Fx连续
则所确定的隐函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)有连续的导函数 f ′ ( x ) = − F x ( x , y ) F y ( x , y ) f'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} f′(x)=−Fy(x,y)Fx(x,y)
当然也可以直接把 y y y看作x的函数，对 x x x进行求导，得到的 y ′ y’ y′就是答案。
画关系图是这样的
所以 y ′ F y + F x = 0 y’F_y+F_x=0 y′Fy+Fx=0
第二种方法可能更加好，尤其是算二阶导的时候
更多元的时候也可以用这个方法，注意 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,…x_n x1,x2,...xn是相互独立的
注意：
1.真正在求的时候隐函数导数的时候：
说明F连续, F x , F y F_x,F_y Fx,Fy连续，存在一点等于F=0，且 F y F_y Fy恒不等于0
然后对x求导就行，把y’表示出来
2.如果是F(x,y,z)确定的隐函数是z=f(x,y)则求导的时候先对x求导，再对y求导，导数有两个。并且y和x独立，就相当于常数。
3.最主要的是画关系图
4.对于二阶导，也可能是一阶导的式子求出来以后发现满足一个关系，那么对这个新式子求导
看一个比较烦的例子：
u = x 2 + y 2 + z 2 ， z = f ( x , y ) u=x^2+y^2+z^2，z=f(x,y) u=x2+y2+z2，z=f(x,y)由 x 2 − x y + y 2 = 1 x^2-xy+y^2=1 x2−xy+y2=1确定
求 u x , u y u_x,u_y ux,uy
那么第一个式子可以写成F(x,y,z,u)=0,z又是x,y的函数，关系如下
看那些路径到了x,那么对x求导就是 F x + F u u x + F z z x = 0 F_x+F_uu_x+F_zz_x=0 Fx+Fuux+Fzzx=0
然后解 u x u_x ux就可以了，发现有个 z x z_x zx，那么对后一个式子如法炮制算出来。F的函数式当然已知。
如果求 u x x u_xx uxx那么直接对 u x u_x ux求导
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