几种常见的平均值

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1 平均值

对一组数据求平均是最常见的操作之一，下面给出几种常见的平均值定义及它们的适用情况。

1.1 算术平均值

算术平均值（arithmetic mean）定义为：

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}.$$

算术平均值适合试验值等精度且服从正态分布的情况。

1.2 加权平均值

加权平均值（weighted mean）定义为：

$${\bar{x}}_W=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_n{x}_n}{w_1+w_2+\cdots +w_n}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i}{{\sum }_{i=1}^n{w}_i},$$
其中 $w_i$ 是第 $i$ 项 $x_i$ 的权重。

加权平均值适合不同试验值的精度或可靠性不一致的情况。

1.3 对数平均值

对数平均值（logarithmic mean）定义为：

设两个数 $x_1>0$，$x_2>0$，则
$${\bar{x}}_L=\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\frac{x_1-x_2}{\ln \frac{x_1}{x_2}}=\frac{x_2-x_1}{\ln \frac{x_2}{x_1}}.$$

对数平均值适用于数据分布具有对数特性的情况，并且对数平均值 $\le$ 算术平均值。如果 $1/2\le x_1/x_2\le 2$ 时，对数平均值可以用算术平均值代替。

1.4 几何平均值

几何平均值（geometric mean）定义为：

设有 $n$ 个正试验值，$x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_n$，则
$${\bar{x}}_G=\sqrt[n]{x_1{x}_2\dots x_n}={\left(x_1{x}_2\dots x_n\right)}^{\frac{1}{n}}.$$

当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。并且，几何平均值 $\le$ 算术平均值。

1.5 调和平均值

调和平均值（harmonic mean）定义为：

设有 $n$ 个正试验值，$x_1$，$x_2$，$\dots$，$x_n$，则
$$\frac{1}{{\bar{x}}_H}=\frac{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}{n}=\frac{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}{n}.$$

调和平均值常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合。并且，调和平均值 $\le$ 几何平均值 $\le$ 算术平均值。

【参考】

1. 课程老师的 PPT

【修改记录】