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2.1 线性规划模型的建立
线性规划定义
- 目标函数：线性
- 约束条件：都是线性的
- 决策变量：都是连续变量
- 凸性分析：一定是凸优化
线性规划模型建立的步骤
- 假设决策变量
- 建立目标函数
- 寻找约束条件
2.2 线性规划的标准型
线性规划的一般形式
线性规划的一般形式是不等式约束
线性规划的标准型
max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n s.t { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m x j ≥ 0 , ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) \begin{gathered} \max Z=c_1 x_1+c_2 x_2+\cdots+c_n x_n \\ \text { s.t }\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \\ x_j \geq 0,(j=1,2, \cdots, n) \end{array}\right. \end{gathered} maxZ=c1x1+c2x2+⋯+cnxn s.t ⎩
⎨
⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bmxj≥0,(j=1,2,⋯,n)
其中常数项 b i ≥ 0 , ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) b_i \geq 0, \quad(i=1,2,\cdots, m) bi≥0,(i=1,2,⋯,m)
标准形式的特征：
⑴求目标函数的最大值；
⑵约束条件都是线性、等式约束，且决策变量非负；
⑶常数项 b i b_i bi非负
线性规划的一般形式化为标准型方法
(1)目标函数是min
(2)约束条件为不等式
- 约束方程为“≤”不等式,则可在不等式的左端加非负松弛变量，把原不等式变为等式。
- 约束方程为“≥”不等式，则可在不等式的左端减去非负剩余变量(也可称松弛变量)，把原不等式变为等式约束条件
(3) 决策变量无约束
- 例子
(4) 右端常数项 b i b_i bi为负的→不等式两端乘以-1
2.3 线性规划图解法
高中学的画图的方法
- 线性规划的可行域为凸集
- 凸集是指集合内任意两点，其两点的连线都在这个集合内，我们称这个集合为凸集
- 可行域上所求的解，我们称为可行解
- 使目标函数达到最值的可行解，我们称为最优解，最优解在可行域的顶点达到
2.4 线性规划问题的解
线性规划的标准型：
max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n s.t { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m x j ≥ 0 , ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) \begin{gathered} \max Z=c_1 x_1+c_2 x_2+\cdots+c_n x_n \\ \text { s.t }\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \\ x_j \geq 0,(j=1,2, \cdots, n) \end{array}\right. \end{gathered} maxZ=c1x1+c2x2+⋯+cnxn s.t ⎩
⎨
⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bmxj≥0,(j=1,2,⋯,n)
其中常数项 b i ≥ 0 , ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ) b_i \geq 0, \quad(i=1,2,\cdots, m) bi≥0,(i=1,2,⋯,m)
表示成矩阵形式：
max Z = C X s.t { A X = b X ≥ 0 \begin{gathered} \max Z=CX \\ \text { s.t }\left\{\begin{array}{c} AX=b \\ X≥0 \end{array}\right. \end{gathered} maxZ=CX s.t {
AX=bX≥0
其中：
可行解
满足约束条件，AX=b, X≥0的解X称为线性规划问题的可行解
最优解
使Z=CX达到最大值的可行解称为最优解
基、基解、基可行解、可行基
线性规划解的关系
最优解一定是基可行解
最优解的特点
最优解的特点：
(1)可能只有一个解；
(2)可能有多个解；
(3)最优解可能为无穷（无穷大或无穷小）；
(4)可能无解。
凸集
顶点
凸组合
线性规划的几个定理
- 定理一：
- 定理二：线性规划问题的基可性解X对应于可行域D的顶点
- 定理三：若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。
几点结论
- 线性规划问题的可行域是凸集。
- 基可行解与可行域的顶点一一对应，可行域有有限多个顶点。
- 最优解必在顶点上得到。
2.5 单纯形法(1947年)的基本概念
单纯形法的思路
- 1、构造初始可行基；
- 2、求出一个基可行解（顶点）；
- 3、最优性检验：判断是否最优解；
- 4、基变化，转2。要保证目标函数值比原来更优。
例题
转换为线性规划的标准型：
第一步：确定初始基可行解
第二步：求出基可行解
第三步：最优性检验
第四步：基变换
- 换入变量
- 换出变量
第五步：迭代运算
2.6 单纯形法表格法
表格法
见视频
单纯形法的矩阵描述
2.7 线性规划的大M法和两阶段法
大M法
- 为什么提出大M法？
线性规划为标准型时，若约束条件的系数矩阵中不存在单位矩阵？如何构造初始可行基(也就是2.4中基、基解、基可行解、可行基处提到的非奇异子矩阵)。因此引入大M法 - 具体原理见视频
- 关键词：约束条件加入
人工变量；目标函数惩罚人工变量，添加惩罚因子
两阶段法
- 为什么提出两阶段法？
大M法在计算机上难以处理，因此提出两阶段法 - 具体原理
先求初始基，再求解
2.8 线性规划的应用
建模步骤
2.9 线性规划的对偶问题
对称形式的对偶
非对称形式的对偶
原问题与对偶问题的关系
2.10 对偶问题的性质
- 对称定理：
定理：对偶问题的对偶是原问题 - 弱对偶性定理
- 最优性定理
- 对偶定理(强对偶性)
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