【数学笔记】第一节 代数

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交换律：
$a+b=b+a$
$ab=ba$

结合律：
$(a+b)+c=a+(b+c)$
$(ab)c=a(bc)$

分配律：
$a(b+c)=ab+ac$

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$ab=1=>a=\frac{1}{b}$
$-2^2=-4$
$(-2{)}^2=4$
$(-2{)}^3=-2^3=-8$

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$(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd$

完全平方公式：
$(a+b{)}^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b{)}^2=a^2-2ab+(-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

====================

$(a_{1}x+b_1)(a_{2}x+b_2)$

$=a_1{a}_2{x}^2+a_1{b}_{2}x+a_2{b}_{1}x+b_1{b}_2$

$=a_1{a}_2{x}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)x+b_1{b}_2$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

$(a+b{)}^k=a^k+k{a}^{k-1}b+\frac{k(k-1)}{1\cdot 2}{a}^{k-2}{b}^2$
$+\frac{k(k-1)(k-2)}{1\cdot 2\cdot 3}{a}^{k-3}{b}^3$
$+...+\frac{k(k-1)...(k-n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n}{a}^{k-n}{b}^n$
$+...+ka{b}^{k-1}+b^k$

====================

$a{x}^2+bx+c=0$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

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$\frac{a+c}{b}=\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

$\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}$

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

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$(x^2{)}^3=x^{(2\ast 3)}=x^6$

$x^2{x}^3=x^{(2+3)}=x^5$

$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

$x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$

$x^{-2}=\frac{1}{x^2}=\frac{x^0}{x^2}=x^{(0-2)}$

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$(ab{)}^r=a^r{b}^r$

$(\frac{a}{b}{)}^r=\frac{a^r}{b^r},b\ne 0$

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1.if $a<b$, then $a+c<b+c$

2.if $a<b$and $c<d$, then $a+c<b+d$

3.if $a<b$and $c>0$, then $ac<bc$

4.if $a<b$and $c<0$, then $ac>bc$

5.if $0<a<b$, then $1/a>1/b$

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$\sqrt{a^2}=|a|$

$|ab|=|a||b|$

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|},b\ne 0$

$|a^n|=|a{|}^n$

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suppose $a>0$ then

1.$|x|=a$ if and only if $x=\pm a$

2.$|x|<a$ if and only if $a<x<a$

3.$|x|>a$ if and only if $x>a$ or $x<-a$