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微积分归纳总结：中值定理
关于连续函数的中值定理
函数连续则有一下中值定理
| 名称 | 内容 | 证明 |
|---|---|---|
| 有界与最值 | 闭区间的连续函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值 | 同济的高数书上证明从略 |
| 零点定理 | 若函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，则 f ( x ) f(x) f(x)在开区间内 ( a , b ) (a,b) (a,b)内只有一个零点 | 二分法：构造性证法 |
| 介值定理 | 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，且 f ( a ) ≠ f ( b ) f(a)\neq f(b) f(a)=f(b)则对介于 f ( a ) f(a) f(a)与 f ( x ) f(x) f(x)之间的任何实数 μ \mu μ,在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少存在一点 x 0 x_0 x0，使得 f ( x 0 ) = μ f(x_0)=\mu f(x0)=μ | 构造辅助函数用零点定理证明 |
| 平均值定理 | 当 a < x 1 < x 2 < ⋯ < x n < b a<x_1<x_2<\dots<x_n<b a<x1<x2<⋯<xn<b时，在 [ x 1 , x 2 ] [x_1,x_2] [x1,x2]内至少存在一点 ξ \xi ξ使得 f ( ξ ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + ⋯ + f ( x n ) n f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(x_n)}{n} f(ξ)=nf(x1)+f(x2)+⋯+f(xn) | 用介值定理证明 |
关于微分的中值定理
| 名称 | 内容 | 证明 |
|---|---|---|
| 费马定理 | 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0的某处领域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内有定义并且在 x 0 x_0 x0处可导，如果对于任意的$x\in U(x_0) $有 $f(x_0) \leq f(x_0) $(或 $f(x) \geq f(x_0)) 那么 那么 那么f’(x_0)=0$ | 导数的定义+极限的保号性 |
| 罗尔定理 | 如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，并且满足f(a)=f(b)那么至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in (a,b) ξ∈(a,b)，使得 f ’ ( ξ ) = 0 f’(\xi)=0 f’(ξ)=0 | 证明其中一定有一个极值+费马定理 |
| 拉格朗日中值定理 | 如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导那么至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in (a,b) ξ∈(a,b)，使得 f ( b ) − f ( a ) = ( b − a ) f ’ ( ξ ) f(b)-f(a)=(b-a)f’(\xi) f(b)−f(a)=(b−a)f’(ξ) | 构造辅助函数+罗尔定理 |
| 柯西中值定理 | 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导，并且在开区间(a,b)内 g ’ ( x ) ≠ 0 g’(x)\neq 0 g’(x)=0 那么至少存在一个 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in (a,b) ξ∈(a,b)使得 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ) | 构造辅助函数+拉格朗日 |
| 泰勒公式 | 设 f ( x ) f(x) f(x)的某个领域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x，有 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ’ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + ⋯ + 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 f(x)= \\ f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\dots + \\ \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} f(x)=f(x0)+f’(x0)(x−x0)+⋯+n!1f(n)(x0)(x−x0)n+(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1 |
关于积分的中值定理
| 名称 | 内容 | 证明 |
|---|---|---|
| 积分中值定理 | 若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a . b ] [a.b] [a.b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点 ξ \xi ξ使下式成立： ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ( a ≤ ξ ≤ b ) \int\limits_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a) \ (a\leq \xi \leq b) a∫bf(x)dx=f(ξ)(b−a) (a≤ξ≤b) | 介值定理 |
| 微积分基本定理 | 如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数那么 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) a∫bf(x)dx=F(b)−F(a) | 变上限积分 |
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