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何时是PNE(纯策略纳什均衡)?何时是MNE(混合策略纳什均衡)?
题目: 何时是PNE(纯策略纳什均衡)?何时是MNE(混合策略纳什均衡)?
+----------------+----------------+ | L (q) | R (1 - q) | +----------------+----------------+----------------+ | U (p) | a c | e g | +----------------+----------------+----------------+ | D (1 - p) | b d | f h | +----------------+----------------+----------------+
注B
∧ \wedge ∧ 是逻辑与
∨ \vee ∨ 是逻辑或
¬ \neg ¬ 是逻辑非
注C
( a − b > 0 ∧ f − e > 0 ) ∨ ( a − b < 0 ∧ f − e < 0 ) (a-b > 0 \wedge f-e > 0) \vee (a-b < 0 \wedge f-e < 0) (a−b>0∧f−e>0)∨(a−b<0∧f−e<0) 时, 一定有 f − e a − b + f − e ∈ ( 0 , 1 ) \frac{f-e}{a-b+f-e} \in (0,1) a−b+f−ef−e∈(0,1).
( c − g > 0 ∧ h − d > 0 ) ∨ ( c − g < 0 ∧ h − d < 0 ) (c-g > 0 \wedge h-d > 0) \vee (c-g < 0 \wedge h-d < 0) (c−g>0∧h−d>0)∨(c−g<0∧h−d<0) 时, 一定有 h − d c − g + h − d ∈ ( 0 , 1 ) \frac{h-d}{c-g+h-d} \in (0,1) c−g+h−dh−d∈(0,1).
收益函数和最优反应如下:
U 1 ( p , q ) = p [ q a + ( 1 − q ) e ] + ( 1 − p ) [ q b + ( 1 − q ) f ] = p [ ( a − b + f − e ) q − ( f − e ) ] + [ q ( b − f ) + f ] \begin{aligned} U_1(p, q) &= p \left[ qa + (1-q)e \right] + (1-p) \left[ qb + (1-q)f \right] \\ &= p \left[ (a-b+f-e)q – (f-e) \right] + \left[ q(b-f) + f \right] \\ \end{aligned} U1(p,q)=p[qa+(1−q)e]+(1−p)[qb+(1−q)f]=p[(a−b+f−e)q−(f−e)]+[q(b−f)+f]
{ p = { 1 , q > [ 0 , 1 ] , q = f − e a − b + f − e 0 , q < , a − b > 0 ∧ f − e > 0 p ≡ 1 , a − b > 0 ∧ f − e < 0 p = { 0 , q > [ 0 , 1 ] , q = f − e a − b + f − e 1 , q < , a − b < 0 ∧ f − e < 0 p ≡ 0 , a − b < 0 ∧ f − e > 0 p = { 0 , q < 1 [ 0 , 1 ] , q = 1 , a − b = 0 ∧ f − e > 0 p = { 1 , q < 1 [ 0 , 1 ] , q = 1 , a − b = 0 ∧ f − e < 0 p = { [ 0 , 1 ] , q = 0 1 , q > 0 , a − b > 0 ∧ f − e = 0 p = { [ 0 , 1 ] , q = 0 0 , q > 0 , a − b < 0 ∧ f − e = 0 p ≡ [ 0 , 1 ] , a − b = 0 ∧ f − e = 0 \begin{cases} &p = \begin{cases} 1, & \phantom{q} > \\ [0,1], & q
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