线性代数｜矩阵的秩的性质

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前置知识：

• 行列式的性质
• 逆矩阵的性质
• 【定义】矩阵的秩
• 线性方程组与矩阵的秩
• 矩阵初等变换与矩阵乘法的联系

前置定义 2　设在矩阵 $\mathbf{A}$ 中有一个不等于 $0$ 的 $r$ 阶子式 $D$，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$，那么 $D$ 称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的 最高阶非零子式，数 $r$ 称为 矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩，记作 $R(\mathbf{A})$。并规定零矩阵的秩等于 $0$。

说明见 “【定义】矩阵的秩”。

前置性质 3　行列式与它的转置行列式相等。

证明见 “行列式的性质”。

前置定理 4　若矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆，则 $|\mathbf{A}|\ne 0$。

证明见 “逆矩阵的性质”。

前置定理 5　设 $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 中非零子式的最高阶数相等。

证明见 “【定义】矩阵的秩”。

前置定理 6　设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 为 $m \times n $ 矩阵，那么 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系“。

1 矩阵的秩与矩阵是否可逆的关系

定理 1　逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。

证明　对于 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$，由于 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 阶子式只有一个 $|\mathbf{A}|$，故当 $|\mathbf{A}|\ne 0$ 时 $R(\mathbf{A})=n$，当 $|\mathbf{A}|=0$ 时 $R(\mathbf{A})<n$。根据前置定理 4，得证。

因此，可逆矩阵又称为 满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称 降秩矩阵。

2 矩阵的秩与矩阵行数、列数的关系

性质 1　若 $\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵，则 0 ≤ R ( A ) ≤ min ⁡ { m , n } 0 \le R(\boldsymbol{A}) \le \min \{m,n\} 0≤R(A)≤min{
m,n}。

证明　根据前置定义 2，显然成立。

性质 2　$R({\mathbf{A}}^T)=R(\mathbf{A})$。

证明　根据前置性质 3，行列式与其转置行列式相等，因此 ${\mathbf{A}}^T$ 的子式与 $\mathbf{A}$ 的子式对应相等，从而 $R({\mathbf{A}}^T)=R(\mathbf{A})$。

3 矩阵的秩与矩阵初等变换的关系

性质 3　若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，则 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$。

证明　根据前置定理 5 可知，矩阵 $\mathbf{A}$ 经初等行变换变成矩阵 $\mathbf{B}$ 时，矩阵的秩不变。因此，我们只需要证明矩阵 $\mathbf{A}$ 经初等列变换变成矩阵 $\mathbf{B}$ 时，矩阵的秩也不变即可。

根据前置定理 5，矩阵 ${\mathbf{A}}^T$ 经初等行变换变成矩阵 ${\mathbf{B}}^T$ 时，矩阵的秩不变，即 $R({\mathbf{A}}^T)=R({\mathbf{B}}^T)$。根据性质 2 可知，$R(\mathbf{A})=R({\mathbf{A}}^T)$，$R(\mathbf{B})=R({\mathbf{B}}^T)$，于是有 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$。

综上所述，若矩阵 $\mathbf{A}$ 经有限次初等变换变为矩阵 $\mathbf{B}$（即 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$），则 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$。

根据性质 3，我们发现：矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩。

根据前置定理 6 替换性质 3 中的条件，得到性质如下：

性质 4　若可逆矩阵 $\mathbf{P}$、$\mathbf{Q}$ 使 $\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$，则 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$。

证明：根据前置定理 6 和性质 3，显然成立。

4 矩阵的秩和矩阵分块的关系

性质 5　 max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) \max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B}) max{
R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)。

证明　因为 $\mathbf{A}$ 的最高阶非零子式总是 $(\mathbf{A},\mathbf{B})$ 的非零子式，所以 $R(\mathbf{A})\le R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。同理有 $R(\mathbf{B})\le R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。根据以上两式可得
max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) \max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) max{
R(A),R(B)}≤R(A,B)
设 $R(\mathbf{A})=r$，$R(\mathbf{B})=t$；把 ${\mathbf{A}}^T$ 和 ${\mathbf{B}}^T$ 分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵 $\tilde{\mathbf{A}}$ 和 $\tilde{\mathbf{B}}$。因为根据性质 2 有 $R({\mathbf{A}}^T)=R(\mathbf{A})=r$，$R({\mathbf{B}}^T)=R(\mathbf{B})=t$，所以 $\tilde{\mathbf{A}}$ 和 $\tilde{\mathbf{B}}$ 中分别包含 $r$ 和非零行和 $t$ 的非零行，从而 $\left(\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{A}}\\ \tilde{\mathbf{B}}\end{array}\right)$ 中只含有 $r+t$ 个非零行，并且 $\left(\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^T\\ {\mathbf{B}}^T\end{array}\right)\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{A}}\\ \tilde{\mathbf{B}}\end{array}\right)$。于是有
$$R(\mathbf{A},\mathbf{B})=R{\left(\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^T\\ {\mathbf{B}}^T\end{array}\right)}^T=R\left(\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^T\\ {\mathbf{B}}^T\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{A}}\\ \tilde{\mathbf{B}}\end{array}\right)\le r+t=R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$$
得证。

特别地，当 $\mathbf{B}=\mathbf{b}$ 为非零列向量时，有
$$R(\mathbf{A})\le R(\mathbf{A},\mathbf{b})\le R(\mathbf{A})+1$$

性质 6　$R(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$。

证明　不妨设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 为 $m\times n$ 矩阵。对矩阵 $\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}+\mathbf{B}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)$ 做初等行变换 $r_i-r_{n+i}$（$i=1,2,\cdots ,n$）即得
$$\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}+\mathbf{B}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)$$
根据性质 5，有
$$R(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le R\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}+\mathbf{B}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)=R({\mathbf{A}}^T,{\mathbf{B}}^T{)}^T=R({\mathbf{A}}^T,{\mathbf{B}}^T)\le R({\mathbf{A}}^T)+R({\mathbf{B}}^T)=R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$$
得证。

如果矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩等于它的列数，这样的矩阵称为 列满秩矩阵；当 $\mathbf{A}$ 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵。如果矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩等于它的行数，这样的矩阵称为 行满秩矩阵；当 $\mathbf{A}$ 为方阵时，行满秩矩阵就成为满秩矩阵。