算术平均、几何平均、平方平均、调和平均

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一、基本定义

1. 算术平均

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n$$

2. 几何平均

$$\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac1n}$$

算术平均有时会因一些离群值的存在，提升整体的均值；

因此：

$$\sqrt {ab}\leq \frac{a+b}2$$

其实就是几何平均和算术平均的关系。

算法平均还需注意的一点是，不允许序列中出现负数，如果出现，最终开根号的结果有可能为虚数。

在金融领域，几何平均要比算术平均更为严格，试想如果有人声称自己近 10 年的投资回报率，前 9 年都是 20%，第 10 年为 0，也即最后一把输光。如果按照算术平均还是能够得到一个相对可观的数字。

3. 平方平均（二范数）

$$\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}n}$$

4. 调和平均

$$\frac{n}{\sum_{n=1}^N\frac1{a_n}}$$

2. 常见证明

• 算术平均（$A_n$）不小于几何平均（$G_n$）

3. 应用场景

• 调和平均的应用场景：
  • 调和平均数可以用在相同距离但速度不同时，平均速度的计算；如一段路程，前半段时速60公里，后半段时速30公里〔两段距离相等〕，则其平均速度为两者的调和平均数时速 $40=\frac{2\cdot 60\cdot 30}{60+30}$ 公里。
  • 4 名学生分别在一个小时内解题 3、4、6、8（可以理解为以 13 的速度走完第一段距离 s，以 4 的速度走完第二段距离 s，等等），问平均解题速度是多少？就是求调和平均数，即 $\frac{4s}{\frac{s}3+\frac{s}4+\frac{s}6+\frac{s}8}=4.57$

4. 均值之间的关系

• 算术平均与几何平均的关系：
  ∑inain≥Πniai−−−−√n

  $$\sum_{i}^n\frac{a_i}{n}\geq \sqrt[n]{\Pi_{i}^na_i}$$

  因此和一定时，乘积的最大值为：$\Pi_{i}^na_i\leq \frac{{(\sum a_i)}^n}{n^n}$