加速度计到底测了个啥？

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1 简介

加速度计传感器是用来测量飞行器加速度并输出加速度信号的装置，加速度传感器又称为加速度计，是惯性导航中的重要惯性元件。

可加速度计测得到底是啥呢？为什么我们自己拿到一个加速度计运动起来测得的值有正有负，测量值与运动值不一致呢？我相信每一个用过硬件的人都会体会到这个问题。

因此本文对这个问题做了详细说明。

2 加速度计模型

加速度计的原理以认为是上图所示的模型，加速度计外壳（黄色部分）与刚体固连，加速度计外壳通过绳子与内部的小球相连。物体在自由移动时，小球对绳子的拉力的合力除以小球的质量，就是加速度计测量到的值。

3 提出五个问题场景

前提条件：设定向右为正方向，向上为正方向。

1、物体静止摆放到桌面上时，加速度计测量值是多少？
2、物体以10$m/s^2$的加速度向上运动时，加速度计测量值是多少？
3、物体自由落体时，加速度计的测量值是多少？
4、物体以10$m/s^2$向右运动时，加速度计在水平方向的测量值为多少？
5、物体绕轨道转动时，加速度计的测量值是多少？

4 对加速度计测量值的三种解释方法

4.1 加速度计原理解释法

根据加速度计原理，物体小球对绳子的拉力除以小球的质量，就是加速度计测量得到的值，为了更好的建立力与加速度之间的关系，不妨设小球的质量为1kg，重力加速度设为10$m/s^2$则可以得到：

①静止状态下，小球对绳子的拉力等于小球的重力，因此为10N，方向向下，加速度计测得的值就是-10$m/s^2$。

②物体以10$m/s^2$的加速度向上运动时，对球来说，球的加速度也是10$m/s^2$，因此对球运用牛顿第二定律。绳子对球的拉力为$F$。

$$F-mg=ma$$
$$F=mg+ma=20N$$
则球对绳子的拉力$F^{\prime }$为-20N，加速度计测得的值就为-20$m/s^2$。

③物体自由落体时，球的加速度为重力加速度，球只受重力，绳子上的力为0，加速度计测得的值也为0。

④物体以10$m/s^2$向右运动时，球的加速度也为10$m/s^2$，建立牛顿第二定律方程，绳子对球的拉力为$F$。

$$F=ma=10N$$
则球对绳子的拉力$F^{\prime }$为-10N，加速度计测得的值就为-10$m/s^2$。

⑤物体在空间中绕地球轨道运动时，矢径方向，物体向心加速度为g，此时绳子的拉力为0，自然加速度计测得的值也为0；

注意：加速度计与陀螺仪一样，测得的是本体系相对于惯性系的加速度在本体系下的分量，但这几种情况下加速度计的实际测量值代表物体在惯性系的得实际加速度，要想获得实际的运动加速度，必须要与物体的重力加速度做一个组合，这种组合方式是什么样的呢？这就引入了第二种解释方式。

4.2 惯性力系分解解释法

以②号问题为例，当我们对小球做力系分析，可以得到：

$$F+mg=ma$$
此时力与加速度都是带符号的值，与坐标系正方向定义相关。

将所有项移到左边

$$F+mg-ma=0$$
式中$mg-ma$即为加速度计测量值。

将问题②带入上式：

$$mg-ma=-10-10=-20$$
加速度计测得的值就为-20$m/s^2$。

若想得到物体相对于惯性系的运动加速度，则有
$$a=\frac{mg-Valu{e}_{\text{加速度计测量}}}{m}=\frac{-10-(-20)}{1}=10m/s^2$$
其他问题同理，这样就建立了加速度计测量值与物体相对于惯性系的运动加速度两者之间的关系。

那为什么加速度计测量的值是$mg-ma$呢？这引入第三种解释方法

4.3 相对加速度解释法

同样以②号问题为例，我们认为加速度计外壳与小球是两个独立的个体，加速度计的测量值实际上是球相对于外壳的加速度。

假设球漂浮在空中静止，当外壳以a=10$m/s^2$加速度向上运动时，球相对于壳的加速度就是-a=-10$m/s^2$，负号代表方向， 但球是会自由下落的，因此球相对于壳的加速度还要加上球本身下落的重力加速度，因此，加速度计测量的值就变成了$-a+g=-10+(-10)=-20$，自然也就解释了为什么$Valu{e}_{\text{加速度计测量}}=g-a$了。

5 实验

实际上，当我们使用真的加速度计模块时，确实是与理论解释是一致的。

读者可以尝试解释一下下图中物体的运动状态（物体只在垂直方向上运动）

答案：物体先静止，然后向上加速，最后逐渐减速到速度为0，重新静止。

6 额外

一定注意加速度计测量值是在本体系下分解的，所以测量值与本体系的姿态也有关，但这部分比较好理解，所以不做赘述。