电磁场第二章公式总结

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1.电荷计算公式

根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为
$$q={\int }_V\rho (\vec{r})dV$$
如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q 为
$$q={\int }_S{\rho }_S(\vec{r})dS$$
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q 为
$$q={\int }_C{\rho }_l(\vec{r})dl$$

2.电流公式

$$i=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{dq}{dt}$$
电流密度矢量$\vec{J}$
$$\vec{J}={\vec{e}}_n\underset{\Delta S\to 0}{\lim }\frac{\Delta i}{\Delta S}={\vec{e}}_n\frac{di}{dS}$$
流过任意曲面S 的电流为
$$i={\int }_S\vec{J}\cdot d\vec{S}$$
面电流密度矢量${\vec{J}}_S$
$${\vec{J}}_S={\vec{e}}_t\underset{\Delta l\to 0}{\lim }\frac{\Delta i}{\Delta l}={\vec{e}}_t\frac{di}{dl}$$
通过薄导体层上任意有向曲线$\vec{l}$的电流为
$$i={\int }_l{\vec{J}}_S\cdot ({\vec{e}}_n\times d\vec{l})$$

3.电荷守恒定律

电流连续性方程
积分形式:${\oint }_S\vec{J}\cdot dS=-\frac{dq}{dt}=-\frac{d}{dt}{\int }_V\rho dV$
(流出闭合面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量)
微分形式:$\nabla \cdot \vec{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

4.库仑（Coulomb）定律

真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
$${\vec{F}}_{12}={\vec{e}}_R\frac{q_1{q}_2}{4\pi {\epsilon }_0{R}_{12}^2}=\frac{q_1{q}_2{\vec{R}}_{12}}{4\pi {\epsilon }_0{R}_{12}^3}$$

电场强度

定义式
$$\vec{E}(\vec{r})=\underset{q_0\to 0}{\lim }\frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}$$

静电场的散度和旋度

静电场的散度（微分形式）：
$\nabla \cdot \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho (\vec{r})}{{\epsilon }_0}$(推导见书P43)
静电场的高斯定理(积分形式)：
${\oint }_S\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho (\vec{r})dV$

高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。

静电场的旋度（微分形式）：
$\nabla \times \vec{E}(\vec{r})=0$
静电场的环路定理(积分形式)：
${\int }_c\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0$
环路定理表明:静电场是无旋场，是保守场，电场力做功和路径无关

5.安培力定律

真空中的载流回路C1对 载流回路C2的作用力
${\vec{F}}_{12}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{C_2}{\int }_{C_1}\frac{I_{2}d{\vec{l}}_2\times (I_{1}d{\vec{l}}_1\times {\vec{R}}_{12})}{R_{12}^3}$

磁感应强度

根据安培力定律，有
${\vec{F}}_{12}={\int }_{C_2}{I}_{2}d{\vec{l}}_2\times \frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{C_1}\frac{(I_{1}d{\vec{l}}_1\times {\vec{R}}_{12})}{R_{12}^3}={\int }_{C_2}{I}_{2}d{\vec{l}}_2\times {\vec{B}}_1({\vec{r}}_2)$
其中${\vec{B}}_1({\vec{r}}_2)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_{C_1}\frac{(I_{1}d{\vec{l}}_1\times {\vec{R}}_{12})}{R_{12}^3}$
电流$I_1$在电流元$I_{2}d{\vec{l}}_2$处产生的磁感应强度

磁场的散度和旋度

恒定场的散度(微分形式)：
$\nabla \cdot \vec{B}(\vec{r})=0$在这里插入代码片
磁通连续性原理(积分形式):
${\int }_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0$

磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线

恒定磁场的旋度(微分形式):
$\nabla \times \vec{B}(\vec{r})={\mu }_0\vec{J}(\vec{r})$
安培环路定理(积分形式):
${\oint }_C\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{l}={\mu }_0{\int }_S\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}={\mu }_{0}I$
安培环路定理表明:恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁场的漩涡源