微积分入门：偏导数

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偏导数

定义域

如$z=f(x,y)$，其定义域是是所有在xy轴的点P=(x,y)的集合

连续性

基本函数的任何有限组合在其域的每个点都是连续的.

如果函数f(x, y)的值可以通过取点(x,y)使其尽量逼近$(x_0,y_0)$，能得到f(x,y)使其尽可能接近于f(x0, y0)，则称函数f(x, y) 在其定义域中的点$(x_0,y_0)$ 处连续。

水平曲线

• 等值线图
• 等高线

水平曲面

等温面、等势面

定义

函数$z=f(x,y)$，有2个自变量，当x变化或者y变化时，z都会变化。每次对一个自变量进行求导，当其他所有自变量为常量，可以得到每一个自变量的相关导数。

$z=f(x,y)函数，$z对x求导的定义为：$\frac{\partial z}{\partial x}={\lim }_{\Delta x->0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$，当前极限存在的话，称作z关于x的偏导数，读作”偏z，偏x“。

z对x求导，最常用的偏导数表示形式：

• $\frac{\partial z}{\partial x}$
• $z_x$
• $\frac{\partial f}{\partial x}$
• $f_x$
• $f_x(x,y)$

z对y求导，标准表示为：

• $\frac{\partial z}{\partial y}$
• $z_y$
• $\frac{\partial f}{\partial y}$
• $f_y$
• $f_y(x,y)$

$\partial$读作”圆背d“，”卷曲d“，强调存在其他自变量，z对y求导定义为：$\frac{\partial z}{\partial y}={\lim }_{\Delta y->0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$

关于x的偏导数在某个点处的值表示：

• $f_x(2,1)$
• $(\frac{\partial f}{\partial x}{)}_{2,1}$

单变量的导数$dy/dx$可合理的当做分数，dy、dx，但是偏导数$\partial z/\partial x$不能拆分为分数$\partial z$，$\partial x$。

对x的多阶偏导数:

• $\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}{f}_x=f_{xx}$
• $\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}{f}_y=f_{yx}$

对y的多阶偏导数:

• $\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}{f}_x=f_{xy}$
• $\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial y})=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}{f}_y=f_{yy}$

偏微分顺序：
如果$f_{xy}$, $f_{yx}$对($x_0,y_0$)附近的所有点都存在，且在其附近连续，则$f_{xy}(x_0,y_0)-f_{yx}(x_0,y_0)$

三阶导数：

• $\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z})=(f_{zy}{)}_x=f_{zyx}$

通常，只要有适当的连续性，微分的执行顺序不重要：
$f_{xxyz}=f_{xyxz}=f_{xyzx}=f_{yxzx}$

曲面的切平面

曲面的切平面对应于曲线的切线，在几何上，曲面在一点处的切平面是“最接近”该点附近曲面的平面。

切平面定义：
$P_0$是曲面$z=f(x,y)$上的一个点，假设T是经过$P_0$点的平面，P是曲面上的任意一个点。如果当P点沿着曲面逼近$P_0$时，线段$P_{0}P$和平面T的角度逼近于0，则称为T为曲面在$P_0$点的切平面。

存在性：如果偏导数$f_x(x,y),f_y(x,y)$在$(x_0,y_0)$存在于某个邻域所有点，且函数在$(x_0,y_0)$连续。

切平面公式：

• $z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),点P(x_0,y_0,z_0)在切平面上$
• $z-z_0=(\frac{\partial z}{\partial x}{)}_{P_0}(x-x_0)+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}_{P_0}(y-y_0),点P(x_0,y_0,z_0)在切平面上$

基本引理：如果一个函数$z=f(x,y)$和其他偏导数$f_x,f_y$在点$(x_0,y_0)$处有定义，并且也在该点的某个邻域内，假如$f_x,f_y$在$(x_0,y_0)$处连续，则有以下公式：
$\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+{ϵ}_1\Delta x+{ϵ}_2\Delta y,当\Delta x,\Delta y->0时，{ϵ}_1,{ϵ}_2->0$

一个函数$z=f(x,y)$的偏导数值$f_x(x_0,y_0)$，$f_y(x_0,y_0)$都存在，且满足基本引理，则称函数在点$(x_0,y_0)$可微分。

仅仅在这种情形下（点$(x_0,y_0)$处可微分），才能用$dx,dy表示\Delta x,\Delta y$，才有以下公式：$dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy$。

如果点$(x_0,y_0)$处可微分，则曲面$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处理有一个切平面，dz是沿平面在z方向的增量，dz的几种表示形式：

• $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$
• $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

函数z=f(x,y)在某一点处理可微分的话，则在那一点自动连续（得到，$\Delta x、\Delta y->0时，\Delta z->0$）。

单多变量微分区别：

• 单个变量时，函数在某个点有导数，则在该点连续；但是多变量不行，单个偏导数的存在不能得出连续

方向导数、梯度

函数$f(x,y,z)$，点P(x,y,z)，位置向量$R=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$, $\vec{u}$是指定的移动方向的单位向量，P移动到Q点的距离为$\Delta s=|\Delta R|$, Q点坐标为Q = $(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$，则：

• f关于距离的平均变化率为：$\Delta f/\Delta s$。
• 当Q点逼近P点时$\Delta f/\Delta s$的极限为：
  $\frac{df}{ds}={\lim }_{\Delta s->0}\frac{\Delta f}{\Delta s}$，称作f在点P于方向$\vec{u}$上的导数，或简称f的方向导数

假设f(x,y,z)关于x，y，z有连续的偏导数。

f的梯度(可适配到任意维)：$\overrightarrow{gradf}=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}=(\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k})f$

方向导数的计算：

• $\frac{df}{ds}=(\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k})\cdot \frac{d\vec{R}}{ds}$
• $\frac{df}{ds}=(\overrightarrow{gradf})\cdot \frac{d\vec{R}}{ds}$
• $\frac{df}{ds}=(\overrightarrow{gradf})\cdot \vec{u}$
• $\frac{df}{ds}=|\overrightarrow{gradf}|\cos \theta$

梯度的基本属性：

• df/ds在任何方向上的方向导数，都是梯度grad f在该方向的标量投影(梯度包含点P所有方向上的导数)
• 向量梯度grad f能够指出哪个方向上f增加最快
• 向量梯度grad f的长度是f的最快增长率
• 函数f(x,y,z)在点$P_0$的梯度垂直于经过点$P_0$的水平曲面

水平曲面（等温面、等势面，等值相同的点组成的曲面, 如$f(x,y,z)=c_1$）的向量梯度$gradf$是垂直于点$P_0$处的水平曲面：$(\overrightarrow{gradf})\cdot \frac{d\vec{R}}{ds}=0$。因为$d\vec{R}/ds$在曲线在$P_0$的单位正切向量，则梯度垂直于该正切向量，垂直于所有方向的正切向量（所有正切向量的平面为正切平面），所以垂直于水平曲面。

则点$P_0$处的正切平面方程为：${\frac{\partial f}{\partial x}}_{p_0}(x-x_0)+{\frac{\partial f}{\partial y}}_{P_0}(y-y_0)+{\frac{\partial f}{\partial z}}_{P_0}(z-z_0)=0$

函数f(x,y,z)的梯度可以表示为：$\overrightarrow{gradf}=(\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k})f$

表示形式(del/nabla operator)：$\vec{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$

则$\nabla$和函数f的乘积为一个向量，即向量梯度f，$grad\vec{f}$，则

• $grad\vec{f}=\vec{\nabla }f$，读作del f，称作f的梯度场
• $\frac{df}{ds}=\vec{\nabla }f\cdot \frac{d\vec{R}}{ds}=\vec{\nabla }f\cdot \vec{u},\nabla 读作grad$

链式法则

$w=f(x,y)$，x、y均是关于t的函数，则：$\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt}$, w是因变量，x、y是中间变量，t是自变量，可扩展为任意多中间变量。

$w=f(x,y,z)$，x,y,z都是关于t的函数则：
$\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dt}$

如果x、y、z是关于t、u的函数，则w也是关于t、u的函数，则：

• $\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}$
• $\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}$

w 关于x、y、z的全微分公式：$dw=\frac{\partial w}{\partial x}dy+\frac{\partial w}{\partial y}dy+\frac{\partial w}{\partial z}dz$

欧拉齐次函数定理：如果$f(x,y)$是n次齐次函数($f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$)，则$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=nf(x,y)$

最大最小问题

函数f(x,y),x,y是自变量（独立变量），其（相对）最大、最小值满足：

• $\frac{\partial z}{\partial x}=0$
• $\frac{\partial z}{\partial y}=0$

满足这2个条件的点为临界点。临界点是极值的必要条件，非充要条件。

通过二阶导数测试来对临界点分类：
如果f(x,y)在临界点C $(x_0,y_0)$的邻域内有连续的二阶导数，则如果$D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-[f_{xy}(x_0,y_0){]}^2$，则：

• C是一个最大值点：如果D>0，且$f_{xx}(x_0,y_0)<0$
• C是一个最小值点：如果D>0，且$f_{xx}(x_0,y_0)>0$
• C是一个鞍点saddle point：如果D<0
• 无法确定：如果D=0

受约束的最大最小值&拉格朗日乘子

函数$f(x,y)$，约束条件为：$g(x,y)=0$，找到$f(x,y)=c(c_1,c_2\dots )$表示的水平曲面与约束函数的交点，当c最大值，交点为$P_0$即为最大/最小点。此时满足如下：

• $grad\vec{f}=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}$
• $grad\vec{g}=\frac{\partial g}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial g}{\partial y}\vec{j}$
• 两个梯度向量都垂直于水平曲线、约束曲线，则$grad\vec{f}=\lambda grad\vec{g},\lambda 为某个数，grad\vec{g}\ne \vec{0}$

则：

• $\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}$
• $\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}$
• $g(x,y)=0$

定义函数$L(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda g(x,y),x,y,\lambda 是三个变量$，则：

• $\frac{\partial L}{\partial x}=0$
• $\frac{\partial L}{\partial y}=0$
• $\frac{\partial L}{\partial \lambda }=0$

其中变量$\lambda$是拉格朗日乘子：将寻找f(x,y)在约束条件$g(x,y)=0$下的最大最小值，转化为函数L的无约束的最大、最小值。该方法为拉格朗日乘法，其特点为：

• 任意选择自变量，不会影响问题的对称性
• 引入新变量$\lambda$消除约束条件

拉格朗日乘子法可以扩展到更多变量，如$L=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)$：

• $\frac{\partial L}{\partial x}=0$
• $\frac{\partial L}{\partial y}=0$
• $\frac{\partial L}{\partial z}=0$
• $\frac{\partial L}{\partial \lambda }=0$

拉格朗日乘子法可以扩展到更多约束条件，如$g(x,y,z)=0，且h(x,y,z)=0$，则会有2个拉格朗日乘子，满足性质$grad\vec{f}=\lambda grad\vec{g}+\mu grad\vec{h},grad\vec{g}\ne \vec{0}且grad\vec{h}\ne \vec{0}，两者也不平行$，
此时$L=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)-\mu h(x,y,z)$，满足：

• $\frac{\partial L}{\partial x}=0$
• $\frac{\partial L}{\partial y}=0$
• $\frac{\partial L}{\partial z}=0$
• $\frac{\partial L}{\partial \lambda }=0$
• $\frac{\partial L}{\partial \mu }=0$

隐函数微分

假设函数z = F(x,y)，存在y=f(x)，令$z=F(x,f(x))=c$，F(x,y)有连续偏导数，则$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$，则隐函数的微分计算方程为：

• $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)},F_y(x,y)\ne 0$

任何可微函数y=f(x)，如果满足$F(x,f(x))=c$，则称y=f(x)是F(x,y)定义的隐函数。

隐函数定理：
设 F(x,y)在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内具有连续的偏导数，并假设$F(x_0,y_0)=c$ 且 $Fy(x_0,y_0)\ne 0$，那么存在一个关于$x_0$的区间I，其性质是存在一个定义在I上的可微分函数y = f(x)，使得$y_0=f(x_0)$且F[x,f(x)] = c，则这个函数y=f(x)的导数公式：$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$，f(x)因此也是连续的

三变量等式：

假设F(x,y,z) = c定义了某个隐函数$z=f(x,y)$，则：

• $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}$
• $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z}$

即如果 $\partial F/\partial z\ne 0$，在曲面 F(x, y, z) = c上的点$(x_0,y_0,z_0)$处，则在该点的邻域中，曲面定义了唯一的隐函数 z = f(x, y) 使得$z_0=f(x_0,y_0)$，且该函数的偏导数由上述方程计算。

g(y)=x的反函数问题：即求解$F(x,y)=g(y)-x=0$的y，通过上述方程得到：$\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}=-\frac{-1}{g^{\prime }(y)}=\frac{1}{dx/dy}$