【线性代数｜C++】克拉默法则

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一、定义（克拉默法则）

• 设含有$n$个未知数$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的$n$个线性方程的方程组$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array},\text{\hspace{1em}(1)}$$如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即$$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0,$$那么，方程组（1）有唯一解$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D},$$其中$D_j(j=1,2,\cdots ,n)$是把系数行列式D中的第$j$列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的$n$阶行列式，即$$D_j=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|.$$

二、定理4

• 如果线性方程组（1）的系数行列式$D\ne 0$，则（1）一定有解，且解是惟一的.

三、定理4’

• 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

四、定义（非齐次线性方程组、齐次线性方程组）

• 线性方程组（1）右端的常数项$b_1,b_2,\cdots ,b_n$不全为零时，线性方程组（1）叫做非齐次线性方程组.
• 当$b_1,b_2,\cdots ,b_n$全为零时，线性方程组（1）叫做齐次线性方程组.

五、定理5

• 如果齐次线性方程组（1）的系数行列式$D\ne 0$，则齐次线性方程组（1）没有非零解.

六、定理5’

• 如果齐次线性方程组（1）有非零解，则它的系数行列式必为零.

七、C++代码实现

• 解线性方程组$$\{\begin{array}{l}2x_1+x_2-5x_3+x_4=8\\ x_1-3x_2-6x_4=9\\ 2x_2-x_3+2x_4=-5\\ x_1+4x_2-7x_3+6x_4=0\end{array}$$

#include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; //行列式求值函数 int GetDetVal(const vector<vector<int>> &vvDetInput) { 
    int iDetVal; //行列式空白时，退出 if(0 == vvDetInput.size()) return 0; //当行列式仅有1个元素（阶数为1）时，该值就是行列式的值 if(1 == vvDetInput.size() && 1 == vvDetInput[0].size()) { 
    return vvDetInput[0][0]; } //当行列式元素阶数大于1时，将行列式按第1行展开 else { 
    //先求行列式的余子式 vector<vector<int>> vvCofactor(vvDetInput);//1.复制输入行列式 vvCofactor.erase(vvCofactor.cbegin());//2.删除第1行 for(unsigned int i = 0; i < vvCofactor[0].size(); i++)//3.逐列删除 { 
    for(unsigned int j = 0; j < vvCofactor.size(); j++) { 
    vvCofactor[j].erase(vvCofactor[j].cbegin() + i); } //对第1行各元素预期代数余子式的成绩进行累加，得到行列式的值。当行列式阶数大于1时，递归调用本函数 iDetVal += (vvDetInput[0][i] * pow(-1, i) * GetDetVal(vvCofactor)); vvCofactor.clear(); vvCofactor = vvDetInput; vvCofactor.erase(vvCofactor.cbegin());//2.删除第1行 } } return iDetVal; } //主函数 int main() { 
    //方程组系数行列式 vector<vector<int>> vvCoefficients{ 
   { 
   2,1,-5,1}, { 
   1,-3,0,-6}, { 
   0,2,-1,2}, { 
   1,4,-7,6}}; //方程组常数项 vector<int> vConstants{ 
   8,9,-5,0}; //克拉默法则中分母D的值 int D = GetDetVal(vvCoefficients); //求克拉默法则中分子的值，并代入公式求方程的解 for(unsigned int i = 0; i < vvCoefficients[0].size(); i++) { 
    vector<vector<int>> vvDet0(vvCoefficients); for(unsigned int j = 0; j < vvCoefficients.size(); j++) { 
    vvDet0[j][i] = vConstants[j]; } cout << "x" << i + 1 << " = " << GetDetVal(vvDet0) / D << endl; } return 0; } 

引用文献：《工程数学 线性代数（第五版）》同济大学数学系编，高等教育出版社