【导数术】4.三次函数

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4.三次函数

三次函数即形如：

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,a\ne 0$

（1）对称性

三次函数图像是中心对称图形，对称中心为：$(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$

$Pra.4.1$

求证：$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,a\ne 0$满足：
$$f(x)+f(-\frac{2b}{3a}-x)=2f(-\frac{b}{3a})$$

• $Solution$：证明略。

$Pra.4.2$

设函数$f(x)=x^3-3x^2-x$，设
$$t=\sum _{i=1}^{2021}f(\frac{i}{1011})$$
求$t$的值。

• $Solution$：$t=-6063$，利用对称性即可。

（2）根的数量问题

所谓根的问题，指一个三次函数与$x$轴交点的个数。

对三次函数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d,a\ne 0$求导得：
$$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$$
令$f^{\prime }(x)=0$，设$\Delta =4(b^2-3ac)>0$我们有：
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a}$$
设$x=x_{1,2},x_1<x_2$

为了讨论方便，假设$a>0$，那么：

$f(x)$在$(-\infty ,x_1)$递增，$(x_1,x_2)$递减，$(x_2,+\infty )$递增

因此：$f(x)$的根的情况为

（3）根的求解问题

三次方程的求解遵循：猜根法。

一般特殊解为$x=\pm 1,\pm 2$等。

$Pra.4.3$

求方程$x^3-6x^2+11x-6=0$的根

• $Solution$：猜根得$x=1$是原方程的根

分解为：$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)$

因此原方程的根为：$x_1=1,x_2=2,x_3=3$

（4）切线问题

遵循“飞哥圆盘”定理。

“左右三，线上二，上下一。”

结论如下：

$Pra.4.4$

已知函数$f(x)=x^3-x.$

（1）求曲线$y=f(x)$在点$M(t,f(t))$处的切线方程；

（2）设$a>0$，如果过$N(a,b)$可作曲线$y=f(x)$的三条切线，求证：
$$-a<b<f(a)$$

• $Solution$：略。

$Pra.4.5$

已知函数$f(x)=2x^3-3x.$

（1）求$f(x)$在区间$[-2,1]$上的最大值

（2）若过点$P(1,t)$存在三条直线与曲线$y=f(x)$相切，求$t$的取值范围；

（3）问过点$A(-1,2),B(2,10),C(0,2)$分别存在几条直线与曲线$y=f(x)$相切？

• $Solution$：最大值$\sqrt{2}$；$t\in (-3,-1)$；分别：$3,2,1$条直线。