合同矩阵充要条件

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两个实对称矩阵合同的充要条件：它们（他们？她们？）的正负惯性指数相同。

还是法语好，万物都有性别。英语就差点，只有72个性别。

正惯性指数：矩阵的特征值中正号的个数；负惯性指数：矩阵负特征值个数。

即合同矩阵的充分必要条件是：特征值的正负号个数相同。

证明：

$$本文中，所有矩阵为对称矩阵，但又不限于对称矩阵。$$

定义：若矩阵A和矩阵B满足：
$$B=P^{T}AP\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
，则称矩阵A与B合同。

若B为对称矩阵，则A也是对称矩阵，根据对称矩阵的性质，可以得出：
$$A=Q^T\Lambda Q\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

其中，$\Lambda$既可以是普通的对角矩阵（即标准型），也可以是规范型（即对角元素的绝对值为1）。

将（1.1）带入（1.2）可得：

$$B=P^T{Q}^T\Lambda QP=(QP{)}^T\Lambda (QP)\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

假设 $（QP）=R$，则（1.3）可变化为：

$$B=R^T\Lambda R\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

假若对角矩阵$\Lambda$是标准型， $\Lambda$一定可以根据矩阵乘法简化为规范型矩阵。

从（1.2）和（1.4）可以得出，若A和B满足合同条件（1.1），等价于合同矩阵有相同的特征值（规范型），结论得证。

注意：

1. 在对称矩阵中，合同跟相似是等价的，两者能够相互推导。反之，非对称矩阵不满足等价条件。
2. 赫尔韦兹定理，可以根据以下2点来证明。
   （1）对角线主子式的定义。
   （2）特征值之积等于矩阵的行列式。
   从第一阶主子式开始，依次递增的推论出第二个、第三个、…、第n个特征值的正负号。

还是要感谢万能的知乎。

参考链接

赫尔韦兹定理的证明：https://zhuanlan.zhihu.com/p/