湍流模型（1）——湍流的统计描述

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湍流是一种随机的、非定常的、混沌的不规则流动状态，内部是无数形状和尺度不同的漩涡。湍流的高度复杂性使得描述流体粒子的运动变得异常困难，因此研究者们转而使用统计学的方法。如下图所示，将湍流的瞬时量u(t)分解为定常量U和瞬时扰动量的和，即$$u(t)=U+u^{\prime }(t),$$
这种描述方式就是雷诺分解（Reynolds decomposition）。上式中的$u$不仅指速度分量，可以代表湍流的其他特征量，如压力$p$等。

在雷诺分解的基础上，根据统计学理论就可以得出一堆湍流统计量：
时间平均/均值(time average/mean)
流动特征量$\varphi$的时间平均定义为
$$\bar{\varphi }=\Phi =\frac{1}{\Delta t}{\int }_0^{\Delta t}\varphi (t)dt$$
上式中的$\Delta t$理论上应该是趋于无穷的，因为毕竟是统计量，小样本就没有统计价值了。其实只要满足$\Delta t$大于$\varphi$的周期的时间尺度，上式定义的均值就是有意义的。
扰动量${\varphi }^{\prime }$的时间平均恒等于0，定义如下，
$${\bar{\varphi }}^{\prime }=\frac{1}{\Delta t}{\int }_0^{\Delta t}{\varphi }^{\prime }(t)dt\equiv 0$$
所以，$$\varphi =\Phi +{\varphi }^{\prime }$$

以下统计量主要对于扰动分量而言：
方差(Variance)
$$\overline{({\varphi }^{\prime }{)}^2}=\frac{1}{\Delta t}({\varphi }^{\prime }{)}^{2}dt$$
均方根(r.m.s)
$${\varphi }_{rms}=\sqrt{\overline{({\varphi }^{\prime }{)}^2}}=[\frac{1}{\Delta }{\int }_0^{\Delta t}({\varphi }^{\prime }{)}^{2}dt{]}^{1/2}$$
统计矩（moment）
对于变量$\varphi =\Phi +{\varphi }^{\prime }$和$\psi =\Psi +{\psi }^{\prime }$，其扰动量的二阶矩定义为
$$\overline{{\varphi }^{\prime }{\psi }^{\prime }}=\frac{1}{\Delta t}{\int }_0^{\Delta t}{\varphi }^{\prime }{\psi }^{\prime }dt$$

高阶矩（higher-order moment）
$$\overline{({\varphi }^{\prime }{)}^3}=\frac{1}{\Delta t}{\int }_0^{\Delta t}({\varphi }^{\prime }{)}^{3}dt$$
$$\overline{({\varphi }^{\prime }{)}^4}=\frac{1}{\Delta t}{\int }_0^{\Delta t}({\varphi }^{\prime }{)}^{4}dt$$