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前言
计算实时序列数据的均值和方差时，常使递推的方式，可以减少存储和降低计算复杂度( O(n)-> O(1) )。下面将给出递推公式和推导方法。
一、定义
均值
定义：给定一个包含n个样本的集合 X={X1, …Xn}，均值就是这个集合中所有元素和的平均值。
公式：
μ = 1 n ∑ i = 1 n x i \begin{aligned} &\mu = \frac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}x_{i} \end{aligned} μ=n1i=1∑nxi
方差
定义：方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数。
公式：
σ 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 \begin{aligned} &\sigma^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}(x_{i} – \mu )^{2} \end{aligned} σ2=n1i=1∑n(xi−μ)2
备注：样本方差的分母是n-1。
二、递推公式
1.均值
令 前n个样本的均值为： μ n = 1 n ∑ i = 1 n x i (2.1) \begin{aligned} &\mu_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}x_{i} \end{aligned} \tag{2.1} μn=n1i=1∑nxi(2.1)
则，与前n-1个样本的均值的递推公式为：
μ n = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n ( ∑ i = 1 n − 1 x i + x n ) = 1 n [ ( n − 1 ) μ n − 1 + x n ] = μ n − 1 + 1 n ( x n − μ n − 1 ) (2.2) \begin{aligned} &\mu_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}x_{i} \\ &~~~ = \frac{1}{n}\left ( \sum_{i =1}^{n-1}x_{i} + x_{n} \right ) \\ &~~~ = \frac{1}{n}\left [ (n-1)\mu_{n-1} + x_{n} \right ] \\ &~~~ = \mu_{n-1} + \frac{1}{n}(x_{n} – \mu_{n-1} ) \end{aligned} \tag{2.2} μn=n1i=1∑nxi =n1(i=1∑n−1xi+xn) =n1[(n−1)μn−1+xn] =μn−1+n1(xn−μn−1)(2.2)
2.方差
令 前n个样本的方差为： σ n 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ n ) 2 (2.3) \begin{aligned} &\sigma^{2}_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}(x_{i} – \mu_{n} )^{2} \end{aligned} \tag{2.3} σn2=n1i=1∑n(xi−μn)2(2.3)
将(2.2)代入(2.3)，可得与前n-1个样本的方差的递推公式为：
σ n 2 = 1 n ∑ i = 1 n [ ( x i − μ n − 1 ) − 1 n ( x n − μ n − 1 ) ] 2 = 1 n ∑ i = 1 n [ ( x i − μ n − 1 ) 2 + 1 n 2 ( x n − μ n − 1 ) 2 − 2 n ( x i − μ n − 1 ) ( x n − μ n − 1 ) ] 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ n − 1 ) 2 + 1 n 2 ( x n − μ n − 1 ) 2 − 2 n 2 ( x n − μ n − 1 ) ∑ i = 1 n ( x i − μ n − 1 ) = n − 1 n σ n − 1 2 + n + 1 n 2 ( x n − μ n − 1 ) 2 − 2 n 2 ( x n − μ n − 1 ) ( x n − μ n − 1 ) = n − 1 n σ n − 1 2 + n − 1 n 2 ( x n − μ n − 1 ) 2 (2.4) \begin{aligned} &\sigma^{2}_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}\left [(x_{i} – \mu_{n-1})-\frac{1}{n}(x_{n} – \mu_{n-1} ) \right ]^{2} \\ &~~~ = \frac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}\left [(x_{i} – \mu_{n-1})^{2}+\frac{1}{n^{2} }(x_{n}- \mu_{n-1} )^{2} – \frac{2}{n}(x_{i} – \mu_{n-1})(x_{n} – \mu_{n-1} ) \right ]^{2} \\ &~~~ = \frac{1}{n}\sum_{i =1}^{n}(x_{i} – \mu_{n-1})^{2} + \frac{1}{n^{2} }(x_{n}- \mu_{n-1} )^{2} – \frac{2}{n^{2}}(x_{n} – \mu_{n-1} )\sum_{i =1}^{n}(x_{i} – \mu_{n-1})\\ &~~~ = \frac{n-1}{n}\sigma^{2}_{n-1} + \frac{n+1}{n^{2}}(x_{n}- \mu_{n-1} )^{2} – \frac{2}{n^{2}}(x_{n} – \mu_{n-1} )(x_{n} – \mu_{n-1} )\\ &~~~ = \frac{n-1}{n}\sigma^{2}_{n-1} + \frac{n-1}{n^{2}}(x_{n}- \mu_{n-1} )^{2} \end{aligned} \tag{2.4} σn2=n1i=1∑n[(xi−μn−1)−n1(xn−μn−1)]2 =n1i=1∑n[(xi−μn−1)2+n21(xn−μn−1)2−n2(xi−μn−1)(xn−μn−1)]2 =n1i=1∑n(xi−μn−1)2+n21(xn−μn−1)2−n22(xn−μn−1)i=1∑n(xi−μn−1) =nn−1σn−12+n2n+1(xn−μn−1)2−n22(xn−μn−1)(xn−μn−1) =nn−1σn−12+n2n−1(xn−μn−1)2(2.4)
式(2.4 ) 的推导第三行第3项到第四行第3项，具体推导可见式 ( 2.5 )
∑ i = 1 n ( x i − μ n − 1 ) = ∑ i = 1 n x i − n μ n − 1 = x n + ∑ i = 1 n − 1 x i − n μ n − 1 = x n − μ n − 1 + ∑ i = 1 n − 1 x i − ( n − 1 ) μ n − 1 = x n − μ n − 1 \begin{aligned} &\sum_{i =1}^{n}(x_{i} – \mu_{n-1}) = \sum_{i =1}^{n}x_{i} – n\mu_{n-1} \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = x_{n} + \sum_{i =1}^{n-1} x_{i} – n\mu_{n-1}\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = x_{n} – \mu_{n-1} + \sum_{i =1}^{n-1} x_{i} – (n-1)\mu_{n-1} \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = x_{n} – \mu_{n-1} \end{aligned} i=1∑n(xi−μn−1)=i=1∑nxi−nμn−1 =xn+i=1∑n−1xi−nμn−1 =xn−μn−1+i=1∑n−1xi−(n−1)μn−1 =xn−μn−1
总结
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