广工大物实验——弹簧振子周期公式研究

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实验目的：

1. 学会用焦利称静态测量弹簧的劲度系数
2. 初步掌握用实验手段总结经验公式的一般方法——从实验找出弹簧振子振动的周期经验公式。
3. 学习对测量结果的分析和评估.

实验背景：

弹簧振子广泛应用于各种减振和避震系统中，在民生和航天工业中有重要应用；弹簧是物理学中一个极具启发性的基础模型，物理学中各个分支中的很多问题可以简化为弹簧振子串、并连所构成的系统来进行研究。

实验仪器：

PASCO运动传感器 IICI-6742A、550数据采集器、Capstone软件、弹簧组、砝码、砝码钩、带吊钩的指针、天平（公用）.

实验原理

设在力F作用下弹簧伸长量为L,根据胡克定律，有F=kL,式中k为弹簧的劲度系数，单位为N/m.

影响弹簧振子周期T的因素很多，如气压力，温度、振子的振幅A、振子质量m及弹簧的劲度系数k等等，根据定性观察，p,t对T的影响不大，m,k对T的影响最大。A不大时时T的影响也不大。

假设周期公式为T=Bmakβ其中B,a,β是待定常数，通过计算可以变形为In T In B+aln m +Blnk.

当k不变时，lnB十βlnk是常数，则lnT与lnm之间星线性关系.选用劲度系数为k的某一弹簧，对应不同的振子质量m,测定它们的振动周期T,得到一组T,m的测量值.以ln m为横轴、lnT为纵轴作图，得到ln T-ln m直线，a是该直线的斜率，lnB+βlnk是该直线的截距.

同理，当m不变时，lnB十alnm是常数，则lnT与lnk之间呈线性关系.选用不同劲度系数的一组弹簧，对应相同的振子质量m,测定它们的振动周期T,得到一组T,k的测量值以lnk为横轴、lnT为纵轴作图，得到lnT-lnk直线，β是该直线的斜率，lnB+alnm是该直线的截距.

从lnT-lnm及lnT-Ink图中，可求得a, β和B的值

如果由实验测得的α，3和B的值均在实验误差范围内，则开始的假设是正确的，于是经验公式得到证实：反之，说明开始的假设形式是错误的，需要重新建立数学模型进行实验验证由胡克定律F=kL可以得出周期经验公式假定为:T=Bmαkβ ,上式两边同时取对数可得:lnT=lnB+αlnm+βlnk. ，其中，B，α，β是待定常量，通过下面对实验分析，我们将测算其数值并验证其公式的正确性。

实验操作

1. 检查A形底座的水平；检查直杆、横杆固定稳固；横杆要尽量水平。
2. 将台座移至实验台边缘稳固放置，让横杆伸出实验台一定长度；将拉力传感器竖直固定在横杆伸出端。
3. 用电子秤称量即将要进行实验的三根弹簧的质量。然后将弹簧悬挂在拉力传感器的挂钩上，下端挂上砝码盘；砝码盘要位于实验台边缘之外一段距离。
4. 在运动传感器底部将其模式选择为“小车”，并将传感平面转至水平；将传感器放在砝码盘正下方，传感平面要对准砝码盘；将传感器连接至550采集器端口。
5. 打开550数据采集器，在电脑Capstone软件上选择正确的端口检查是否连接成功。在新工程文件中创建图表，调节550数据采集器的采样率为100Hz。新建图表，纵轴选择“位置（米）”，横轴选择“时间（秒）”。
6. 在砝码盘上放置1个砝码，将砝码盘向下拉离平衡位置，保证松手后弹簧进行小振幅振动，若振动状态合适，点击“记录”按钮，记录大约15s后停止，并对此数据进行命名。
7. 依次增加砝码，每增加一个砝码，均照步骤6进行测量。
8. 更换不同弹簧，并按照步骤6、7进行测量

实验数据记录及处理

1. 五种颜色的弹簧劲度系数：

Red： K = 25N/m±10% 

Blue:  K=30 N/m±10%    

Yellow: K= 35N/m±10%    

White: K= 40 N/m±10% 

Green: K= 50N/m±10%

1. 弹簧质量

1. 当弹簧系数k不变，ω随振子质量M分别为400g、600g、800g、1000g的变化关系如图1所示：

图一：弹簧系数（选用白色弹簧，k=30N/m）不变时，ω随振子质量M分别为400g、600g、800g、1000g的变化关系，图中不同的颜色表示不同的振子质量

从图1可见，当弹簧系数k不变时，振子运动的ω随振子质量M的增加而不断减少

当振子质量M不变时，ω随弹簧系数k分别为30N/m(蓝)、35N/m(黄)、40N/m(白)的变化关系如图2所示

图 2：振子质量M不变，ω随弹簧系数k分别为30N/m(蓝)、35N/m(黄)、40N/ m(白)的变化关系图

从图2可见，当振子质量M不变时，ω的值随弹簧系数k的增加而增加。

实验中测定的数据如表1所示

表1：振子质量，弹簧弹性系数和振子周期T的实验数据

从表1中可看出，由周期公式可知，弹簧系数k一定时，周期T随振子质量M的增加而增加，所以α值应为正；而振子质量M一定时，周期T随弹簧系数的增加而减少，而β的值应为负。

对于公式T=B 我们取对数可得到lnT=lnB+αlnm+βlnk，用控制其中一组变量得到lnT-lnM和lnT-lnk的关系如图所示

表2：蓝色弹簧（k=30N/m）振动周期T、振子质量M及其对数的实验数据

表3：白色弹簧（k=35N/m）振动周期T、振子质量M及其对数的实验数据

图4：白色弹簧（k=35N/m）振动周期的对数lnT随振子质量的对数lnM的变化关系 

表4：黄色弹簧（k=40N/m）振动周期T、振子质量M及其对数的实验数据

图5：黄色弹簧（k=40N/m）振动周期的对数lnT随振子质量的对数lnM的变化关系 

可以看出，在误差允许的情况下，当弹簧的弹性系数k不变时，lnT和lnM呈线性关系。

当m相同时，不同弹簧的弹性系数和振子周期的实验数据

实验总结

实验表明：当弹簧振子劲度系数k不变时，弹簧振子周期的自然对数（lnT）和弹簧振子质量的自然对数（lnm）之间呈线性关系。

当弹簧振子质量m不变时，弹簧振子周期的自然对数（lnT）和弹簧振子劲度系数的自然对数（lnk）之间呈线性关系。

实验中额外注意振子起振时，需尽量使其垂直振动，另外，不同劲度系数的弹簧起振时所需的力度也不同，需适当调整。