用R语言画出方向导数和梯度

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5 方向导数

基本概念

根据单变量函数的导数定义，可以类推出多变量函数的导数定义。唯一值得注意的地方是，多变量函数在求导时需要指明针对哪一个变量求导。例如，对于函数$f(x,y)$，在$(x_0,y_0)$处对$x$求导，可以写为

$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

现有一函数$z=f(x,y)=1-(x^2+y^2)$，则$z_x^{\prime }=-2x$。任取一点$(x_i,y_i,z_i)$，以其导数的值为斜率，沿着$x$方向做出一条切线，其方程为

$$\begin{array}{rl}y& =y_0\\ z& =-2x_0(x-x_0)+z_0\end{array}$$

现绘制出100个随机点处$x$方向的偏导数

x = matrix(data=seq(-5,4.95,0.05),nrow=200,ncol=200) y = t(x) z = 1-(x^2+y^2) library(rgl) persp3d(x,y,z,col="red") N = 1000 x0 = rnorm(N) y0 = rnorm(N) z0 = 1-(x0^2+y0^2) x1 = x0+3 z1 = -2*x0*3+z0 for(i in 1:N) lines3d(c(x0[i],x1[i]),c(y0[i],y0[i]),c(z0[i],z1[i]),col="green") 

从观感上来看，绿线的确是沿着$x$方向。但是这个切线显然不是唯一的，$y$轴方向显然存在另一条切线。推而广之，一旦坐标系旋转，那么曲面上任意一点处的$x$和$y$方向均会发生变化。

那么曲面是否存在一个只和曲面特征有关，而与坐标系无关的参数？

梯度

在解决这个问题之前，最好先找到曲面某点沿着任意方向的导数。回顾$x$方向偏导数的定义

$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

如果把$x$和$y$这两个方向等同看待，则该式可以写成更加对偶的形式

$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+1\cdot \Delta x,y_0+0\cdot \Delta x)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

即

$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+1\cdot \delta ,y_0+0\cdot \delta )-f(x_0,y_0)}{\delta }$$

如果导数的方向发生旋转，则可以写为

$$\begin{array}{rl}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=& \underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\cos \theta \cdot \delta ,y_0+\sin \theta \cdot \delta )-f(x_0,y_0)}{\delta }\\ =& \underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\cos \theta \cdot \delta ,y_0+\sin \theta \cdot \delta )-f(x_0,y_0+\sin \theta \cdot \delta )+f(x_0,y_0+\sin \theta \cdot \delta )-f(x_0,y_0)}{\delta }\\ =& \underset{\cos \theta \delta \to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\cos \theta \cdot \delta ,y_0+\sin \theta \cdot \delta )-f(x_0,y_0+\sin \theta \cdot \delta )}{\cos \theta \delta }\cdot \cos \theta \\ & +\underset{\sin \theta \delta \to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\sin \theta \cdot \delta )-f(x_0,y_0)}{\sin \theta \delta }\cdot \sin \theta \\ =& f_x^{\prime }(x_0,y_0)\sin \theta +f_y^{\prime }(x_0,y_0)\cos \theta \end{array}$$

其中$(\cos \theta ,\sin \theta )$表示当前点的方向。受此启发，对于更多自变量的函数$y=f(x_0,x_1,\dots x{)}_n$，其在$\vec{V}=(v_0,v_1,\dots v_n)$方向的导数可以写为

$$\frac{\partial f}{\partial x_1}{v}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}{v}_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}{v}_n$$

如果写成矢量形式，则定义梯度

$$\nabla f=[\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}{]}^T$$

则在$\vec{V}$方向的导数可以写为

$$D_{V}f(\vec{x})=(\nabla f{)}^T\cdot \vec{V}$$

而今通过方向导数去考察$z=1-(x^2+y^2)$这个函数，其梯度为$(z_x^{\prime },z_y^{\prime })=(-2x,-2y)$。则该点处最大方向导数必与梯度方向相同，即$(\frac{-2x}{\sqrt{4x^2+4y^2}},\frac{-2y}{\sqrt{4x^2+4y^2}})$，其方向导数为$2\sqrt{x^2+y^2}$。

任取一点$(x_0,y_0,z_0)$，以其最大方向导数的方向为斜率做出一条直线，其方程为

$$\frac{x-x_0}{\frac{-x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}=\frac{y-y_0}{\frac{-y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}=\frac{z-z_0}{2\sqrt{x_0^2+y_0^2}}$$

即

$$\begin{array}{r}x=(z-z_0)\frac{-x_0}{2(x_0^2+y_0^2)}+x_0\\ y=(z-z_0)\frac{-y_0}{2(x_0^2+y_0^2)}+y_0\end{array}$$

简单起见，在距离$x=0,y=0$的直线为$1$处等间隔选取一些点，则$\sqrt{x_0^2+y_0^2}=1$，上式简化为

$$\begin{array}{r}x=-\frac{x_0}{2}(z-z_0)+x_0\\ y=-\frac{y_0}{2}(z-z_0)+y_0\end{array}$$

沿这些点梯度方向做一些直线，看看效果如何

x = matrix(data=seq(-5,4.95,0.05),nrow=200,ncol=200) y = t(x) z = -(x^2+y^2) library(rgl) persp3d(x,y,z,col="red") theta = seq(-pi,pi,0.01) x0 = cos(theta) y0 = sin(theta) z0 = 1-(x0^2+y0^2) x1 = x0*0 y1 = y0*0 z1 = z0+2 for(i in 1:N) lines3d(c(x0[i],x1[i]),c(y0[i],y1[i]),c(z0[i],z1[i]),col="green") 

如图所示，像一顶漂亮的帽子，在某个投影方向看去，和我们熟知的切线如出一辙。