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1.力常数和张量的简单定义
a.张量的简单理解:
b.原子之间相互作用势能：
相对于原子位移泰勒展开
c.二阶力常数-两原子之间的相互作用：
所以，二阶力常数可以用二阶张量表示
在QE中用四维数组表示
phi(icar,jcar,na,nb),维度分别为（3,3，sN,sN）原子a的i方向和原子b的j方向的值。
（它把原胞拆开了，只看每个原子，不看是哪个原胞中的那个原子）
所以它也可以直接写成二阶张量
phi(icar_a,jcar_b)，维度分别为（sN3,sN3）
但是它没这么写是为了程序的清晰，但是最低是二阶张量。
d.3阶力常数-三原子之间的相互作用：
同理3阶力常数最低是3阶张量—–三原子之间的相互作用
phi(icar_a,jcar_b,kcar_c)，维度分别为（sN3,sN3,sN3）
常规动力学矩阵中只包含两个原子之间相互作用的力常数信息，不能包含高阶力常数。
e.力常数之间的对称关系-减少独立力常数的数量：
如果不考虑对称关系，三阶力常数总数就是（Ns3）3个，四阶是（Ns3）4
• Permutation（置换）
三个原子之间的力常数和自变量位置没有关系
• Periodicity（周期性）
由于IFC应该取决于原子间距离，因此它们在以晶格矢量为单位的平移下是不变的，即
• Crystal symmetry（晶体对称性）
晶体对称操作映射原子𝑟(ℓ𝜅) 到另一个等效原子𝑟(𝐿𝐾) 通过旋转和平移。由于势能在任何晶体对称操作下都是不变的，IFC应该在对称操作下变换如下：
（人话：晶格在对称操作下不变，IFC在对称操作下就不变）
其中O是对称操作的旋转矩阵，如果Ns是允许的对称操作的数量，那么IFCs之间就有Ns个关系，这一般用来寻找孤立的IFC。
（意味着不需要算全部的IFC只需要算一部分，剩下的用对称操作求一下就可以。）
f.力常数之间的限制条件
由于势能在刚性平移和旋转下是不变的，IFCs可能需要满足相应的约束。
平移不变性由下式给出：
旋转不变性：
对于任意组合都成立
这个公式很复杂，因为n+1阶力常数和n阶力常数相关。
例如，与谐波项相关的旋转不变性的约束可以写为
考虑三阶力常数时也要考虑它的旋转不变性，这与二阶力常数有关。
未完待续
2阶力常数，动力学矩阵和声子频率的关系
声子频率是动力学矩阵的本征值，只有二阶的时候动力学矩阵是对角化的有这个值。三阶以上动力学矩阵就不是可以对角化的了。
2.力常数计算原理
2.0概况
a.有限位移和DFPT的区别和联系
b.使用有限位移法的软件：PHONON，PHON， ALAMODE, YPHON, TDEP, and phonopy
c.使用DFPT的软件：QE、Abinit,ELK
d.VASP代码在Γ点实现了这两种方法
e.计算热导率的软件：ALAMODE、TDEP、ShengBTE、almaBTE、PhonTS、和phono3py
f.计算高阶力常数的软件：SCAILD、ALAMODE、TDEP、QSCAILD、SSCHA
g.专门进行力常数计算的软件：ALM和hiPhive
可作为其他高阶力常数计算软件的软件库
一：有效地计算非简谐力常数。
二：计算有限温度下的力常数，引入小位移范围以外的有限原子位移
2.1有限位移方法
2.2密度泛函微扰理论DFPT
3.不同计算软件计算高阶力常数的理论细节
3.1 原理
a.D3Q
b.Phono3py
c.SSCHA
d.alamode
给了三种可以使用的计算高阶力常数的方法：线性回归（最小二乘法），弹性净回归方法，自适应ASSO方法。我只详细看来第一种。
线性回归法
FDFT:真实原子力，对于每个振动模式
FTED：泰勒展开原子力，（想要几阶就包括几阶）
ΦOLS ：最小二乘法计算的高阶力常数
简单来说，就是用DFT计算所有振动模式（三阶就是三阶所有，四阶就是四阶所有）的真实原子力，用泰勒展开原子力拟合，最后得到高阶力常数。
这是很宽泛笼统的公式，实际三阶四阶具体公式应该有更多计算细节。
计算细节：
根据对称独立的IFC集合及其之间满足平移和旋转不变性的约束，我们可以构造一个不可约的IFC集合{Φ𝑖}.让我们将N个IFC的不可约集合的列向量表示为Φ。然后，由方程（1.1）定义的泰勒展开势（TEP）被写成
弹性净回归方法（Elastic-net regression）
说实话是没太看懂
自适应LASSO方法
3.2插值方法-画声子谱
a.DFPT从头算-D3Q
b.DFPT有限位移
c.SSCHA
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