数学分析 裴礼文第四章 一元函数积分学

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4.1 积分与极限

一.利用积分求极限

注：利用积分求极限，把数列看成积分和

二.积分的极限

注：上面作者注的话说的非常好。用的是-N语言，第二小题的话简单的，就看着就像趋于0，就往怎么证明它的极限是0的方向去想就像得到。

4.2 定积分的可积性

注：这部分是数学院系该课程难点之一，难度较大，一般考研只有那种非常厉害的名校才会出这里的题目。

一.直接用定义证明可积性

二.利用定理证明可积性

4.3 有关积分的几类经典问题

一.积分值估计

a.利用Darboux和估计积分值

注：这个什么什么俄文定理告诉了我们什么不定积分可以求出来，什么不定积分求不出来，上面这道题目求不出来，但是积分有意义可以进行估计。这道题看懂了意图后把积分化成数列，一个估计就出来了，所以学数学这个灵活性我觉得是最重要的。

b.利用变形求估计及积分估计的应用

利用变量替换进行变形

注：变量替换下来化为更加直观的，可以看出大于0的函数。

利用分布积分进行变形

注：这里出现的分布积分法，要记

注：这种题目就是专门来考这个知识点的，可以说除此以外别无他法，要是非常深入理解了积分应该也能想到其它解法。

利用缩放被积或积分区间进行变形

注：先来个缩放，但要做题才有这样缩放的经验，然后看到有一阶导，二阶导想到拉格朗日定理来算最大值最小值极限。

利用微分中值公式或taylor公式对被积函数进行变形

注：挺常出现的中等难度题。积分和taylor的混合。

关于函数值的估计

注：在某一部分上，这种存在性问题想到用反证法。

二.积分不等式

a.用微分学的方法证明积分不等式

注：微分方法证积分，比较常规

b.利用被积函数的不等式证明积分不等式

注：利用被积函数的不等式证明积分不等式，也比较常见

c.在不等式两端取变限积分证明新的不等式

注：b.的反向操作

三.另一些问题

本段主要讨论那些灵活多变，带综合性的问题。

五.（第一）积分中值定理

注：积分中值定理+rolle定理 比较常见

六.（第二）积分中值定理

注：第二中值定理是第一中值定理在两个函数时候的推广。

4.4 几个著名不等式

一.cauchy不等式及schwarz不等式

注：schwarz就是cauchy不等式的积分形式

注：schwarz不等式的应用

二.平均值不等式

三.holder不等式

四.minkowski不等式

五.young不等式

4.5 反常积分

一.反常积分的计算

a.三大基本方法

注：牛顿莱布尼兹公式，变量替换法，分部积分法，是计算反常积分的三大基本方法

注：变量替换法有些时候非常复杂，要不断做变量替换

b.其他方法

二.反常积分敛散性的判定（十二法）